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Mayo 2018 Problema 3 Nivel 1

Publicado: Dom 08 Sep, 2019 12:25 pm
por tuvie
Sea $ABCDEFGHIJ$ un polígono regular de $10$ lados que tiene todos sus vértices en una circunferencia de centro $O$ y radio $5$. Las diagonales $AD$ y $BE$ se cortan en $P$ y las diagonales $AH$ y $BI$ se cortan en $Q$. Calcular la medida del segmento $PQ$.

Re: Mayo 2018 Problema 3 Nivel 1

Publicado: Lun 06 Jul, 2020 11:09 am
por Dauphineg
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El ángulo central en el que esta inscrito cada lado del polígono es de $\frac{360^{\circ}}{10}=36^{\circ}$ y el ángulo inscrito en cada lado del polígono es de $\frac{36^{\circ}}{2}=18^{\circ}$
Los puntos $J,O$ y $D$ están alineados ya que $\overline{JD}$ es diámetro .
$\angle PAB=\angle QBA=2.18^{\circ}=36^{\circ}$ y también $\angle ABP=\angle ABQ=6.18^{\circ}=108^{\circ}$ luego tenemos que $\angle APB=\angle AQB=180^{\circ}-108^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$ y por lo tanto el cuadrilátero $ABPQ$ es cíclico $\Rightarrow \angle QPA=\angle QBA=36^{\circ}$
Además $\angle ODA= \angle IDA=2.18^{\circ}=36^{\circ} \Rightarrow \overline{OD}\parallel \overline{QP}$
Los triángulos $IHQ$ y $ABQ$ tiene los mismos ángulos y son isósceles (dos ángulos de $36^{\circ}$ y uno de $108^{\circ}$) pero como tienen también un par de lados homólogos iguales ($\overline{IH}= \overline{AB}$) entonces son equivalentes. Luego tendemos que $\overline{QH}= \overline{QB}$ asi que el punto $Q$ esta en la mediatriz de $\overline{HB}$, también ocurre que $\overline{HJ}= \overline{JB}$ por ser cuerdas inscritas en igual ángulo central y por último $\overline{HO}= \overline{OB}$ por ser radios, esto quiere decir que también los puntos $J$ y $O$ están en la mediatriz de $\overline{HB}$ asi que $Q,J,O$ estan alineados y por lo tanto $\angle IOQ=\angle IOJ=36^{\circ} \Rightarrow \overline {OQ}\parallel \overline{DP}$
Hemos probado que el cuadrilátero $OQPD$ es un paralelogramo así que $\overline{QP}= \overline{OD}=5$