IGO 2019 - Nivel Avanzado- P5
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Joacoini
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IGO 2019 - Nivel Avanzado- P5
Sean $A$, $B$, $C$ puntos de una parábola $\Delta$ tal que el punto $H$, ortocentro del triangulo $ABC$, coincide con el foco de la parábola $\Delta$. Demostrar que si se cambia la posición de los puntos $A$, $B$, $C$ sobre $\Delta$ de modo de que el ortocentro $H$ siga coincidiendo con $H$, el inradio del triángulo $ABC$ permanece sin cambios.
NO HAY ANÁLISIS.
Re: IGO 2019 - Nivel Avanzado- P5
- Spoiler: mostrar sea $D$ el pie de altura de $A$ sobre $BC$. si consideramos la función $\text{f}(X)$ como una inversión con centro $H$ y radio $r=\sqrt{2 \cdot HA \cdot HD}$ seguida de una simetría por el punto $H$ (o al revés, es lo mismo) tenemos que las circunferencias $(A,AH)$, $(B,BH)$, $(C,CH)$ tras aplicarles $\text{f}$ se van a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, que como son todas tangentes a la directriz de la parábola, si aplicamos $\text{f}$ a esta recta se va al incírculo de $\triangle ABC$ (es por simetría que no se va a ninguno de los excírculos). como $\text{f}$ es una inversión con centro $H$ seguida de una simetría también por $H$ tenemos que $H$ pertenece al incírculo del triángulo $ABC$. pero además $IH$ tiene que ser perpendicular a la directriz, de donde $I$ está en el eje de simetría de la parábola.
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Re: IGO 2019 - Nivel Avanzado- P5
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Gianni De Rico
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Re: IGO 2019 - Nivel Avanzado- P5
Aaah claro muchas gracias esta muy buena la idea
La idea era básicamente eso que decis de invertir y reflejar pero pensé que como si definís $D'$ como el reflejo de $D $ respecto de $H $ entonces tenes $HA \cdot HD' = r_i^2 = (-r_i)^2$ pensé que con un radio de inversión negativo ya bastaba
La idea era básicamente eso que decis de invertir y reflejar pero pensé que como si definís $D'$ como el reflejo de $D $ respecto de $H $ entonces tenes $HA \cdot HD' = r_i^2 = (-r_i)^2$ pensé que con un radio de inversión negativo ya bastaba
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