IGO 2019 - Nivel Medio - P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 178
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 4
Nivel: 1

IGO 2019 - Nivel Medio - P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 30 Sep, 2019 7:43 pm

Tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ pasan por un punto común, digamos $P$. La recta tangente a $\omega_1$ en $P$ corta a $\omega_2$ y $\omega_3$ por segunda vez en los puntos $P_{1,2}$ y $P_{1,3}$, respectivamente. Los puntos $P_{2,1}$, $P_{2,3}$, $P_{3,1}$, $P_{3,2}$ se definen de manera similar. Probar que las mediatrices de $P_{1,2}P_{1,3}$, $P_{2,1}P_{2,3}$ y $P_{3,1}P_{3,2}$ son concurrentes.

BrunZo

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 178
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 4
Nivel: 1

Re: IGO 2019 - Nivel Medio - P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 30 Sep, 2019 10:19 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
geogebra-export (1).png
Sean
$$A=P_{2,1}P_{3,1}\cap P_{1,2}P_{3,2},\quad B=P_{1,2}P_{3,2}\cap P_{1,3}P_{2,3},\quad C=P_{1,3}P_{2,3}\cap P_{2,1}P_{3,1}\quad (**)$$
Notemos que, por dos ángulos semiinscritos, $\angle P_{2,1}P_{3,1}P=\angle P_{2,1}PP_{1,2}=\angle P_{1,2}P_{3,2}P$ $\Longrightarrow$ $\angle AP_{3,1}P_{3,2}=\angle AP_{3,2}P_{3,1}$ $\Longrightarrow$ $AP_{3,1}=AP_{3,2}$.
Como $AP_{3,1}=AP_{3,2}$ $\Longrightarrow$ la mediatriz de $P_{3,1}P_{3,2}$ $=$ la bisectriz de $\angle P_{3,1}AP_{3,2}$.
Similarmente, las tres mediatrices son, en realidad, las tres bisectrices de $\angle P_{3,1}AP_{3,2}$, $\angle P_{1,2}BP_{1,3}$ y $\angle P_{2,1}CP_{2,3}$. Es decir, estas tres rectas concurren en el incentro del $ABC$

$(**)$ Acá hay una sutileza: ¿qué pasa $P_{2,1}P_{3,1}\parallel P_{1,2}P_{1,3}$?
Bueno, en realidad la respuesta rápida es que da lo mismo porque la concurrencia de las bisectrices es cierta para triángulos degenerados también, siempre y cuando, pensemos en la bisectriz del tercer vértice (el vértice que está en el infinito) como la paralela a los dos lados adyacentes a ese vértice (los dos lados que resultan paradójicamente paralelos) que pasa por el punto medio del lado opuesto (algo así como la base media de un trapecio infinitamente alargado). Pero todo esto merecería un análisis aparte y no es muy divertido repetir exactamente lo mismo dos veces en una solución...
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  

Responder