Nacional 1997 - N1 P2

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BrunZo

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Nacional 1997 - N1 P2

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 08 Oct, 2019 6:48 pm

En la figura hay dos puntos, $A$ y $B$, una recta $l$ y un segmento de longitud $d$. Hallar dos puntos $P$ y $Q$ en la recta $l$ de manera tal que el segmento $PQ$ tenga longitud $d$ y la suma $AP+PQ+QB$ se la menor posible.
oma14n_1.gif
Indicar los pasos de la construcción y explicar por qué se obtuvo la menor longitud posible.
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NPCPepe
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Re: Nacional 1997 - N1 P2

Mensaje sin leer por NPCPepe » Jue 10 Oct, 2019 11:27 pm

El punto $C$ sobre $l$ es tal que $AC$ es perpendicular a $l$ y el punto $D$ sobre $l$ es tal que $BD$ es perpendicular a $l$.
Entonces $P$ esta a la izquierda sobre la recta $l$ y $Q$ a la derecha: $QD=CD-PQ-PC$.
untitled (2).png
Si se iguala $PQ$ a $0$ y a $CD$ se le resta $d$ se obtiene la misma suma $AP+QB$ ya que $AP$ depende de $AC$ y $PC$, y $QB$ depende de $BD$ y $QD$, y estos valores se mantienen iguales
untitled (5).png
$A'$ es el reflejo de $A$ sobre la perpendicular a $l$ sobre $P$, se puede ver que $P$, $A$, y $B$ estan alineados ya que $BPD=APC$, pero en un caso distinto:
untitled (6).png
$P$, $A'$, y $B$ forman un triángulo, para que la suma de $PA'$ y $PB'$ sea la minima posible, estos 3 puntos deben estar alineados.
Asi se puede comprobar que $BPD=APC$.
Entonces se puede hacer la construcción dibujando con escuadra las rectas $AC$ y $BD$ y buscando la distancia PC con las siguientes formulas: $PC/PD=AC/BD$, y $PC+PD=CD-d$, despejando $PC$
$PC=((AC/BD)*(CD-d))/((AC/BD)+1))$
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