Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
ésta

Colaborador OFO - Jurado
Mensajes: 294
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:55 pm
Medallas: 4
Nivel: Ñandú

Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por ésta » Sab 12 Nov, 2011 4:32 pm

Sea [math] un triángulo con [math], [math] y [math]. Los puntos [math] y [math] de los lados [math] y [math] respectivamente son tales que [math] y [math]. Calcular la medida del segmento [math].
Imagen

Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 809
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 12 Nov, 2011 6:23 pm

No es lo ideal, pero es algo.
Spoiler: mostrar
nac3ern.PNG
Ponemos [math], de ésto, completando angulitos en el [math] sigue que [math]. Además teníamos que [math], luego [math].

Trazamos por [math] la paralela a [math] que corta a [math] en [math] y a [math] en [math].

Está claro que [math], luego [math]. De ésto se sigue que como el [math] es rectángulo, [math] es punto medio de [math].

Ahora, en el triángulo [math], tenemos que [math] es punto medio de [math] y que [math] es paralelo a [math], luego [math] es punto medio de [math].

Como además teníamos que [math], sigue que [math].

Ahora, por Teorema del Seno en el [math] tenemos que:

[math]

También, por Teorema del Seno en el [math]:

[math]

Como [math], usando las dos últimas igualdades, tenemos que:

[math]

Notemos que [math], luego, en los numeradores de ambas fracciones, como [math] y [math] son suplementarios, sus senos son iguales, por lo que podemos simplificarlos (es fácil ver que [math]).

[math]

[math].

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Es decir que:

[math]

Y también

[math]

Ahora, finalmente, en el triángulo [math] por Teorema del seno:

[math]

Notando que [math], [math], y que [math], nos queda que:

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

La cosa horrible de la derecha, después de muchas operaciones nos dice finalmente que:

[math]
En la prueba, para no gastar tiempo, lo saqué directamente, y puse una aproximación con diez cifras significativas, pero pongo todo el procedimiento para mostrar que sí se puede sacar el valor exacto de [math] sin usar inversas de funciones trigonométricas.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Última edición por Vladislao el Lun 14 Nov, 2011 2:04 pm, editado 1 vez en total.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

deku
Mensajes: 15
Registrado: Dom 03 Jul, 2011 12:33 am
Nivel: Exolímpico
Ubicación: San Rafael Mendoza

Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por deku » Lun 14 Nov, 2011 1:08 am

Vladislao escribió:No es lo ideal, pero es algo.
Spoiler: mostrar
nac3ern.PNG
Ponemos [math], de ésto, completando angulitos en el [math] sigue que [math]. Además teníamos que [math], luego [math].

Trazamos por [math] la paralela a [math] que corta a [math] en [math] y a [math] en [math].

Está claro que [math], luego [math]. De ésto se sigue que como el [math] es rectángulo, [math] es punto medio de [math].

Ahora, en el triángulo [math], tenemos que [math] es punto medio de [math] y que [math] es paralelo a [math], luego [math] es punto medio de [math].

Como además teníamos que [math], sigue que [math].

Ahora, por Teorema del Seno en el [math] tenemos que:

[math]

También, por Teorema del Seno en el [math]:

[math]

Como [math], usando las dos últimas igualdades, tenemos que:

[math]

Notemos que [math], luego, en los numeradores de ambas fracciones, como [math] y [math] son suplementarios, sus senos son iguales, por lo que podemos simplificarlos (es fácil ver que [math]).

[math]

[math].

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Es decir que:

[math]

Y también

[math]

Ahora, finalmente, en el triángulo [math] por Teorema del seno:

[math]

Notando que [math], [math], y que [math], nos queda que:

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

La cosa horrible de la derecha, después de muchas operaciones nos dice finalmente que:

[math]
En la prueba, para no gastar tiempo, lo saqué directamente, y puse una aproximación con diez cifras significativas, pero pongo todo el procedimiento para mostrar que sí se puede sacar el valor exacto de [math] sin usar inversas de funciones trigonométricas.
Impresionante Vladislao! Muy buena resolución del problema! Aplausos!

Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 809
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 14 Nov, 2011 3:00 pm

Gracias! :)

De paso dejo la otra solución sin trigonometría (la cual no es mía):
Spoiler: mostrar
reflex.PNG
Trazamos [math] hasta que corte a la recta [math] en [math], de ésto se deduce que [math], por lo que el triángulo [math] y el [math] son congruentes. En particular, sigue que [math].

Ahora, marcamos un punto [math] en [math] tal que [math]. Como [math] (por opuestos por el vértice) y [math] (del enunciado) sigue que [math], además [math]. Luego los triángulos [math] y [math] son semejantes. Como además comparten un lado homólogo, tenemos que son congruentes, y en particular, sigue que [math].

Además, de esta congruencia de triángulos sale que [math].

Ahora, en el triángulo [math] tenemos que [math], [math], y tenemos que [math], luego, por Teorema del Coseno:

[math]

Es decir que [math]

Además, [math] (por teorema de la bisectriz en el [math]).

Luego [math], sumando [math] a ambos lados: [math], es decir que [math], o sea:

[math]

[math].

Como teníamos que [math] sigue que:

[math]

Que es lo que queríamos hallar.
PD: No hace falta que se utilice el concepto de reflexión, pero de todas formas está encubierto en este procedimiento.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial OFO - Medalla de Oro
Mensajes: 1052
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 03 Nov, 2017 9:41 pm

Sin absolutamente nada de Trigonometría, sólo cuentas lindas
Spoiler: mostrar
Sean [math] el reflejo de [math] por [math] y [math] el reflejo de [math] por [math], entonces [math]. Como [math], entonces [math], [math] y [math] son colineales. Como [math] y [math], entonces [math] ,[math] y [math] son colineales (*)

Sean [math] el reflejo de [math] por [math] y [math] el reflejo de [math] por [math], entonces [math]. Como [math] y [math], entonces [math], [math] y [math] son colineales (**)

De (*) y (**) sale que [math], [math], [math] y [math] son colineales

Sea [math] la intersección de la perpendicular a [math] por [math] con la recta [math]. Tenemos que [math]. Entonces [math] es medio equilátero y por lo tanto [math] y [math]

Por Pitágoras [math]

Como [math] resulta que [math] es bisectriz de [math]. Por el Teorema de la Bisectriz, [math], por lo tanto [math]

Además, [math]

Finalmente
[math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Queda Elegantemente Demostrado

Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 191
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 4
Nivel: 2
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 02 Oct, 2019 1:35 pm

Spoiler: mostrar
IMG_20191002_133317.jpg


Viendo $PQC$, $\angle CPQ+ \angle CQP=165=\angle BPA+\angle AQB$

Sea $R$ la intersección de $AQ$ y $BP$, viendo $CPRQ$.

$360=15+\angle CPR+\angle CQR+\angle PRQ=15+180-\angle BPA+180-\angle AQB+\angle PRQ=15+360-165+\angle PRQ$

$\angle PRQ=150\Rightarrow \angle QRB=30$

Sea $B'$ el reflejó de $B$ por $AC$, $\angle B'PA=\angle BPA=\angle QPC$ por lo que $B'$, $P$ y $Q$ son colineales.

Tenemos que $\angle QRB=\angle QCB'=30$ y $\angle B'QC=\angle BQR$ por lo tanto la rotohomotecia que manda $BR$ a $B'C$ tiene de centro a $Q$.

Sea $D$ la intersección de $BB'$ y $RC$, recordando la construcción de una rotohomotecia entre dos segmentos tenemos que los siguientes cuadriláteros son cíclicos, $DRQB$, $DB'CQ$.

$\angle QRB=\angle QDB=30$ por lo que $QDB$ es isósceles con $QD=DB$

$\angle DQA=\angle DQR=\angle DBR=\angle ABP=\angle AB'P=\angle AB'Q$.

Por lo que $DQ$ es tangente al circuncirculo de $B'AQ$, por potencia a un punto.

$DQ^2=DB^2=(2-DA)^2=DA^2-4AD+4=DA×DB'=DA(2+DA)=DA^2+2DA$
$6DA=4$
$DA=\frac{2}{3}$
$DB=\frac{4}{3}=DQ$

Por teorema del coseno en $DQB$
$QB^2=2(\frac{4}{3})^2-2×(\frac{4}{3})^2×cos(30))$
$QB^2=(\frac{4}{3})^2(2-\sqrt{3})$
$QB=\frac{4}{3}×\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Por potencia a un punto.
$AR×AQ=AD×AB=\frac{4}{3}\Rightarrow AR=\frac{4}{3AQ}$
También rescatamos que $ARD$ y $ABQ$ son semejantes y de esta.

$\frac{RD}{BQ}=\frac{AR}{BC}$
$RD=\frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}AR}{3}$

$\angle ARB=\angle PRQ=150$, como $\angle BRD=\angle BQD=75$, $RD$ es bisectriz de $\angle ARB$.

Por el teorema de la bisectriz.
$\frac{RB}{AR}=\frac{DB}{AD}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=2$
$RB=2AR$

Ahora llega la frutilla del postre, por el Teorema de Ptolomeo en $RDBQ$.

$RB×QD=RQ×BD+RD×BQ$
$2AR×\frac{4}{3}=(AQ-AR)×\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}AR}{3}×\frac{4}{3}×\sqrt{2-\sqrt{3}}$
$2AR=AQ-AR+\frac{2\sqrt{2-\sqrt{3}}AR}{3}×\sqrt{2-\sqrt{3}}$
$3AR=AQ+\frac{(4-2\sqrt{3})AR}{3}$
$\frac{4}{AQ}=AQ+\frac{(4-2\sqrt{3})4}{9AQ}$
$4=AQ^2+\frac{(16-8\sqrt{3})}{9}$
$AQ^2=\frac{20+8\sqrt{3}}{9}$
$AQ=\frac{\sqrt{20+8\sqrt{3}}}{3}$


No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
NO HAY ANÁLISIS.

Responder