Sea $ABCD$ un rectángulo en el que el lado $BC$ es más largo que el lado $AB$. Se refleja el punto $A$ respecto de la diagonal $BD$, obteniendo el punto $E$. Sabiendo que $BE = EC = 404$, calcular el perímetro del cuadrilátero $BECD$.
Como $B$ esta sobre la mediatriz de $AE$, $ABE$ es isósceles y $AB=BE=404$ y como $ABCD$ es un rectangulo $AB=CD=404$.
La figura es simétrica por la mediatriz de $BC$ ya que $BE=EC$ y por lo tanto se puede conseguir el punto $E$ reflejando a $D$ por $AC$.
Entonces $ECD$ es congruente con $ABE$ y $AE=ED$, también como $AD=DE$ ya que la mediatriz de $AE$ pasa por $D$, se sabe que $ADE$ es equilátero y sus ángulos son de $60º$.
$EAB=90º-60º=30º$ y $AD=AE=2*404*cos(30º)=808*\sqrt{3/4}$.
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}$
$BD=\sqrt{(808*\sqrt{3/4})^2+404^2}=808$
El perímetro es: $404*3+808=2020$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$
Prolongamos $BE$ y $EC$ hasta que se corten en $F$.
Sea $G$ la intersección entre $AE$ y $BC$.
Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$ (y el punto medio de $AE$).
$B$ y $D$ pertenecen a la perpendicular a $AE$ por $H$, es decir a la mediatriz de $AE$, luego $BE=BA$ y $DE=DA$, luego $BE=BA=EC=CD=404$
Además, la mediatriz de $BC$ corta al rectángulo en dos rectángulos congruentes, por lo que también es mediatriz de $AD$.
$BE=BC$, por lo que $E$ pertenece a la mediatriz de $BC$ y por lo tanto también a la mediatriz de $AD$, entonces $AE=DE$.
Pero como $DE=DA$, el triángulo $ADE$ es equilátero, luego $EAD=ADE=DEA=60^o$
Luego $EAB=30^o\Rightarrow BEA=30^o\Rightarrow ABE=120^o\Rightarrow DBE=60^o$ (ya que es la mediatriz de un isósceles, por lo que es bisectriz también).
$DB$ es bisectriz de $ADE$, luego $ADB=30^o\Rightarrow BDC=60^o$, por lo tanto $BDF$ es equilátero.
$BDE=30^o$ y $DBE=60^o$, por lo tanto $BED=90^o$
$EC=CD\Rightarrow CED=CDE=30^o\Rightarrow BEC=120^o$
$DBE+BEC=180^o$ entonces $BD$ y $EC$ son paralelas, y como $CD=BE$, $BECD$ es un trapecio isósceles, por lo tanto $ECD=BEC=120^o$ y $BDC=DBE=60^o$
Entonces $ECF=CEF=60^o$, por lo tanto $ECF$ es equilátero y $EF=CF=EC=404=BE=DC$, por lo que $EC$ es base media de $BDF$, entonces $BD=2\times EC=2\times 404=808$.
Por enunciado $\overline{BE}=404$ y al se $E$ reflejo de $A$ por $\overline{BD}$, $\overline{AB}=404$ y $\overline{AB}=\overline{CD}=404$. Digamos que $B\hat{A}E$ mide $\alpha$. $B\hat{A}E=B\hat{E}A$. Para que $\overline{BE}=\overline{EC}$, $E$ tiene que estar en el medio de $\overline{BC}$. Trazamos la mediatriz de $\overline{BC}$ desde $E$. Llamamos al punto en el que esta mediatriz corta con $\overline{AD}$ $M$. Por ser ángulos alternos internos $B\hat{A}E=A\hat{E}M=\alpha$. $B\hat{E}M=M\hat{E}C=2\alpha$. Digamos que $A\hat{B}D$ mide $\beta$. En la intersección entre $\overline{EM}$ y $\overline{BD}$ está el punto $F$. Por alternos internos $A\hat{B}D=B\hat{F}E$ y $A\hat{B}D=B\hat{D}C=\beta$. Llamemos al punto en el que $\overline{EM}$ corta con $\overline{BC}$, $N$. Llamemos $G$ a la intersección de $\overline{AE}$ con $\overline{BD}$. Como el triángulo $BNF$ tiene dos ángulos iguales a $ABG$, $F\hat{B}N=\alpha$. Como el cuadrilátero $BECD$ es un trapecio isósceles, (ya que $\overline{BE}=\overline{CD}$ y $E\hat{B}D=C\hat{D}B)$, $\overline{BD}\parallel\overline{EC}$. Por ser alternos internos $D\hat{B}C=B\hat{C}E=\alpha$. En el triángulo $ENC$ se ve que $2\alpha=\beta$ y que $3\alpha+90^{\circ}=180^{\circ}$, por lo que $\alpha=30^{\circ}$ y $\beta=60^{\circ}$. Con todo esto sacamos que el triángulo $BCD$ es un medio equilátero, o sea que $\overline{BD}=2\overline{CD}=808$.
Perímetro de $BECD=404\times 3+808=2020$
Figura de análisis:
Sea $F$ la intersección de $AE$ con la diagonal $BD$
Cómo $E$ es el reflejo de $A$, tenemos que $AE \perp BD$ y que $AF = FE$, entonces $BD$ es la mediatriz de $AE$.
Por esto $B$ sería un punto en la mediatriz de $AE$ y como equidista a los puntos $A$ y $E$ tenemos que $AB = BE = 404$ y $\bigtriangleup ABE$ es isóceles.
$ABCD$ es un rectángulo por lo tanto $AB = DC = 404$.
$D$ tambíen es un punto en la mediatriz de $AE$ y como equidista a los puntos $A$ y $E$ tenemos que $AD = ED$ y $\bigtriangleup DAE$ es isóceles.
Cómo $\bigtriangleup BEC$ es isóceles, tenemos que $\angle CBE = \angle ECB$ y como $\angle ABC = \angle BCD = 90º$ $\to$ $\angle ABE = \angle ECD$.
Entonces los triángulos $\bigtriangleup ABE$ y $\bigtriangleup EDC$ son congruentes por el criterio LAL ya que $\angle ABE = \angle ECD$. y $AB=BE=EC=CD=404$ $\to$ $AE=ED$
Como $AE=ED$ y $AD = ED$ $\to$ $AE = AD = ED$ $\to$ $\bigtriangleup DAE$ es equilátero. $\angle AED = \angle EDA = \angle DAE = 60º$
En $FDA$ tenemos que $\angle AFD = 90º$ y que $\angle DAF = 60º$ $\to$ $\angle FDA = 30º$
En $\bigtriangleup ABD$ tenemos que $\angle DAB = 90º$ y que $\angle BDA = 30º$ $\to$ $\angle ABD = 60º$
Con estos datos podemos afirmar que $\bigtriangleup ABD$ es medio equilátero y por consecuencia $BD = 2AB = 808$
Tenemos todos los lados el polígono $BECD$, su perímetro es $BE + EC + CD + BD = 404 +404+404+808 = 2020$
Los triángulos $ABD$, $CDB$ son congruentes porque son la mitad del rectángulo $ABCD$. $ABD$ y $EBD$ son congruentes porque $E$ es el reflejo de $A$ respecto a $BD$. Esto implica que las alturas de $A$, $C$ y $E$ a $BD$ deben tener la misma longitud. Como $E$ y $C$ están en el mismo semiplano respecto a $BD$, se deduce que $BD$ es paralelo a $CE$.
Por congruencia de los triángulos $DBC$ y $BDE$, los segmentos $BE$ y $CD$ tienen la misma longitud, así como los ángulos $CBD$ y $EDB$. Esto y el hecho de que $BD$ y $CE$ son paralelas implica que $BDCE$ es un trapecio isósceles, con $DC=CE=EB= 404$. Completando ángulos por congruencias, paralelos e isósceles se tiene: $\angle CBD = \angle EDB = \angle DEC = \angle EDC$. Con esto se tiene que $\angle CDE= \angle CDE + \angle EDB = 2 \angle CBD$. En el triangulo $BCD$ se tiene que $90°=\angle CDB + \angle CBD = 3\angle CBD$. Entonces $\angle CBD= 30°$.
Con el nuevo dato se tiene que $BD= 2 CD = 808 $. El perímetro que nos piden será entonces $BE+EC+CD+DB=404+404+404+808 = 2020$
Así que concluimos que el perímetro del rectángulo $BECD$ es $2020$.
Ya que se aplica reflexión, $\overline{AB}=\overline{BE}=404$. Luego, como son lados opuestos de un rectángulo, $\overline{CD}=\overline{AB}=404$. Juntando todos los datos: $\overline{AB}=\overline{CD}=\overline{BE}=\overline{CE}=404$.
Pasemos a demostrar que $BD \parallel CD$: llamamos $\alpha = A\hat{B}D$. Debido a que $\overline{BD}$ equidista de $A$ y $E$, $A\hat{B}D =E\hat{B}D = \alpha$. Por alternos internos, $A\hat{B}D = B\hat{D}C = \alpha$ y debido a que $\overline{BE} = \overline{CD} = 404$ y que $E\hat{B}D = B\hat{D}C = \alpha$ podemos afirmar que $CE\parallel BD$ (llamamos $F$ al punto de intersección de las rectas $BE$ y $CD$. $\overline{BF} = \overline{DF}$ ya que sus ángulos opuestos son iguales y como $\overline{BE} = \overline{CD}$, entonces $\overline{EF} = \overline{CF}$. Luego, ya que se cumple el teorema de Thales, los segmentos $CE$ y $BD$ son paralelos).
Ahora llamemos $O$ al circuncentro del rectángulo $ABCD$ (notemos que $O$ es la intersección de$\overline{AC}$ y $\overline{BD}$, por lo que $O$ pertenece a $\overline{BD}$). Como $E$ y $O$ pertenecen a la mediatriz de $\overline{BC}$, $EO \perp BC$ y también sabemos que $BC \perp CD$, por lo tanto $EO \parallel CD$ y $ECDO$ es un paralelogramo, luego (en todo paralelogramo se cumple que lados opuestos son iguales) $\overline{CE} = \overline{DO} = 404$. Ya que $O$ es el circuncentro de $ABCD$, $\overline{BO} = \overline{DO} = 404$.
Finalmente calculamos el perímetro de $BECD$: perímetro de $BECD = \overline{BE} + \overline{CE} + \overline{CD} + \overline{BD} = 404 + 404 + 404 + \overline{BO} + \overline{DO} = 1212 + 404 + 404 = 2020$
RTA: Perímetro de $BECD = 2020$.
veamos que $AB=BE=404$ por ser $BD$ mediatriz de $AE$, y ademas $AB=DC=BE=EC=404$ por ser $AB$ y $CD$ lados opuestos de un rectángulo.
como $BE=EC$, $E$ pertenece a la mediatriz de $BC$ que también es la mediatriz de $AD$ por ser $ABCD$ un rectángulo, por lo que $AE=ED$.
veamos que los triángulos $ABE$ y $ECD$ son congruentes ya que comparten todos sus lados iguales, por lo que $E\hat{D}C=C\hat{E}D=E\hat{A}B=B\hat{E}A=\alpha$ y $A\hat{B}E=E\hat{C}D=180-2\alpha$ luego $E\hat{D}A=90-\alpha$ y como $BD$ mediatriz (y biscectriz de $E\hat{B}A$ y $E\hat{D}A$ ) de $AE$ entonces $A\hat{B}D=90-\alpha$ y $B\hat{D}A=45-\alpha/2$, pero viendo la suma de angulos en $BAD$ tenemos que $A\hat{D}B=180-(90-\alpha)-90=\alpha$
osea que $A\hat{D}B=\alpha=45-\alpha/2$ lo que implica $\alpha=30$, por lo que el triangulo $BAD$ es medio equilátero, y entonces $BD=2BA=2*404=808$ y finalmente el perímetro de $BECD$ es $404+404+404+808=2020$
