Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Mar, 2020 2:50 pm

En el triángulo acutángulo no isósceles $ABC$, el punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita y $AH_a, BH_b$ son alturas. Los puntos $X$ e $Y$ son los simétricos de $H_a$ y $H_b$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC$ y $CA$ respectivamente. Demostrar que la recta $CO$ divide al segmento $XY$ por la mitad.
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Mar, 2020 3:19 pm

Spoiler: mostrar
Sea $K$ la intersección de $CO$ y $XY$.

Como $AH_aB$ y $BH_bA$ son triángulos rectángulos tenemos que
$\frac{AH_b}{sen(\angle H_bBA)}=\frac{BH_a}{sen(\angle H_aAB)}=AB\Rightarrow \frac{AH_b}{BH_a}\cdot \frac{sen(\angle H_aAB)}{sen(\angle H_bBA)}=1$

Pero como $AH_b=CY$, $BH_a=CX$, $\angle H_bBA=90-\angle CAB=\angle OCB=\angle KCX$ y $\angle H_aAB=90-\angle CBA=\angle OCA=\angle KCY$.

$\frac{CY}{CX}\cdot \frac{sen(\angle KCY)}{sen(\angle KCX)}=1$

Pero por el teorema extendido del seno lo anterior es igual a $\frac{YK}{XK}$ por lo que $K$ es el punto medio de $XY$.
NO HAY ANÁLISIS.

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