Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 460
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Mensaje sin leer por Joacoini »

En el triángulo acutángulo no isósceles $ABC$, el punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita y $AH_a,BH_b$ son alturas. Los puntos $X$ e $Y$ son los simétricos de $H_a$ y $H_b$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC$ y $CA$ respectivamente. Demostrar que la recta $CO$ divide al segmento $XY$ por la mitad.
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 460
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Mensaje sin leer por Joacoini »

Spoiler: mostrar
Sea $K$ la intersección de $CO$ y $XY$.

Como $AH_aB$ y $BH_bA$ son triángulos rectángulos tenemos que
$\frac{AH_b}{sen(\angle H_bBA)}=\frac{BH_a}{sen(\angle H_aAB)}=AB\Rightarrow \frac{AH_b}{BH_a}\cdot \frac{sen(\angle H_aAB)}{sen(\angle H_bBA)}=1$

Pero como $AH_b=CY$, $BH_a=CX$, $\angle H_bBA=90-\angle CAB=\angle OCB=\angle KCX$ y $\angle H_aAB=90-\angle CBA=\angle OCA=\angle KCY$.

$\frac{CY}{CX}\cdot \frac{sen(\angle KCY)}{sen(\angle KCX)}=1$

Pero por el teorema extendido del seno lo anterior es igual a $\frac{YK}{XK}$ por lo que $K$ es el punto medio de $XY$.
NO HAY ANÁLISIS.
Fedex

COFFEE - Mención-COFFEE Matías Saucedo OFO - Medalla de Plata-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Medalla-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Mención-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Medalla-FOFO 10 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2021 OFO - Jurado-OFO 2022 OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 269
Registrado: Mar 31 Dic, 2019 2:26 am
Medallas: 11
Nivel: 3
Ubicación: Rosario, Santa Fe
Contactar:

Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2018 - NM P2

Mensaje sin leer por Fedex »

Spoiler: mostrar
Sean $a$, $b$, $c$ sobre la circunferencia unitaria. Notar que $h_a = \frac{1}{2}(a+b+c - \frac{bc}{a})$ y $\frac{x + h_a}{2} = \frac{b+c}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}(-a+b+c+\frac{bc}{a})$ sea $M$ el punto medio de $XY$ luego $m = \frac{x+y}{2} = \frac{-a+b+c+ \frac{bc}{a} - b + a + c + \frac{ac}{b}}{4} = \frac{c}{4} (2 + \frac{a}{b}+ \frac{b}{a})$.
Queremos ver que $O, M, C$ son colineales, es decir, $\frac{m-0}{c-0} = \frac{1}{4}(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$ es un real. Pero eso es claro porque $\overline{(\frac{a}{b})} = \frac{b}{a}$ y viceversa.
This homie really did 1 at P6 and dipped.
Responder