Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 3 (nivel mayor)

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Dauphineg

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Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 3 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por Dauphineg »

El triángulo $ABC$ esta inscripto en una circunferencia de centro $O$. Sea $\mathscr{C}$ la circunferencia que pasa por $A, O$ y $B$.
Las rectas $CA$ y $CB$ cortan a $\mathscr{C}$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente y distintos de $A$ y $B$.
Demostrar que las rectas $CO$ y $DE$ son perpendiculares.
Juaco

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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 3 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por Juaco »

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Los triángulos $ABC$ y $EDC$ son semejantes y haciendo una homotecia puede verse que son simétricos respecto a la bisectriz (podría verse como que están girados respecto a la bisectriz del ángulo en $\hat C$) por lo que solo hace falta demostrar que si trazamos la perpendicular desde $C$ hasta $AB$ (sea $H$ el pie de altura) entonces se cumple que $B\hat CO=H\hat CA$ y esto se cumple gracias al resultado ya conocido de que el circuncentro y el ortocentro son conjugados isogonales.
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Fran5

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Re: Pretorneo de las ciudades, año 1995. Problema 3 (nivel mayor)

Mensaje sin leer por Fran5 »

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WLOG $D$ está entre $A$ y $C$. Por angulitos vemos que $ABC$ y $EDC$ son semejantes: $\angle CDE = \angle ADE = \angle ABE = \angle ABC$ y $\angle ACB = \angle DCE$.

Basta ver que $O$ es el ortocentro de $EDC$. Para ello, si $\angle ACB = c$ entonces $\angle AOB = 2c$, y como $AOC$ es isósceles tenemos $\angle CDO = \angle ADO = \angle ABO = 90 - c$. Similarmente $\angle CEO = 180 - \angle AEO = \angle ABO = 90 - c$.
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