XVIII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES (OTOÑO 1996 HEMISFERIO NORTE). NIVEL MAYOR. PROBLEMA 3

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Dauphineg

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XVIII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES (OTOÑO 1996 HEMISFERIO NORTE). NIVEL MAYOR. PROBLEMA 3

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Sean $A',~B',~C',~D',~E',~F'$ los puntos medios de los lados $AB,~BC,~DE,~EF,~FA$ de un hexágono convexo $ABCDEF$,
no necesariamente regular, respectivamente. Se conocen las áreas de los triángulos $ABC',~BCD',~CDE',~DEF',~EFA',~FAB'$.
Hallar el área del hexágono $ABCDEF$.
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Dauphineg

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Re: XVIII TORNEO INTERNACIONAL DE LAS CIUDADES (OTOÑO 1996 HEMISFERIO NORTE). NIVEL MAYOR. PROBLEMA 3

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Lema:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $M$ el punto medio del segmento $CD$, entonces se cumple que $2.area (ABM)=area (ABC)+area (ABD)$
Demostración:
Sean $P$,$Q$ y $N$ respectivamente los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$,$C$ y $M$ hacia la recta $AB$
El cuadrilátero $CQPD$ es un trapecio de bases $CQ$ y $DP$ y base media $MN$, luego $\overline{MN}=\frac{1}{2}.\left ( \overline{CQ}+\overline{DP} \right )$ multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por $\overline{AB}$ obtenemos lo deseado $2.area (ABM)=area (ABC)+area (ABD)$
*************************************************************************************************************************************************************************************
Pasamos al problema: Escribimos el área del hexágono $ABCDEF$ en $3$ formas distintas como suma de áreas de $4$ triángulos
$\left\{\begin{matrix}
area (ABCDEF)=area (ABD)+area (BCD)+area (DEA)+area (EFA)\\
area (ABCDEF)=area (ABC)+area (FAC)+area (CDF)+area (DEF) \\
area (ABCDEF)=area (BCE)+area (CDE)+area (EFB)+area (FAB)
\end{matrix}\right.$
Sumando las $3$ igualdades anteriores tenemos que $(*)$
$3.area (ABCDEF)=area (ABD)+area (BCD)+area (DEA)+area (EFA)+area (ABC)+area (FAC) +
area (CDF)+area (DEF)+area (BCE)+area (CDE)+area (EFB)+area (FAB)$
Usando el Lema podemos escribir las $6$ igualdades siguientes
$\left\{\begin{matrix}
2.area (ABC')=area (ABC)+area (ABD)
\\2.area (BCD')=area (BCD)+area (BCE)
\\ 2.area (CDE')=area (CDE)+area (CDF)
\\2.area (DEF')=area (DEF)+area (DEA)
\\ 2.area (EFA')=area (EFA)+area (EFB)
\\ 2.area (FAB')=area (FAB)+area (FAC)
\end{matrix}\right.$
Sumando estas ultimas $6$ igualdades y usando $(*)$ llegamos a que
$3.area (ABCDEF)=2.area (ABC')+2.area (BCD')+2.area (CDE')+2.area (DEF')+ 2.area (EFA')+ 2.area (FAB')$
$\Rightarrow area (ABCDEF)= \frac{2}{3}.\left [ area (ABC')+area (BCD')+area (CDE')+area (DEF')+area (EFA')+area (FAB') \right ]$
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