COFFEE "Carolina González" - Problema 3

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COFFEE
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COFFEE "Carolina González" - Problema 3

Mensaje sin leer por COFFEE » Sab 09 May, 2020 12:02 am

En un triángulo $ABC$, sea $K$ un punto en $AC$ tal que $AK=16$ y $KC=20$, sea $D$ el pie de la bisectriz que pasa por $A$, y sea $E$ el punto de intersección de $AD$ con $BK$. Si $BD=BE=12$, hallar el perímetro del triángulo $ABC$.

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COFFEE
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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 3

Mensaje sin leer por COFFEE » Mar 12 May, 2020 1:05 am

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

HelcsnewsXD

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 3

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Mar 12 May, 2020 1:37 am

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Como $B\widehat{E}D=B\widehat{D}E$, tenemos que $B\widehat{E}D=B\widehat{D}E=K\widehat{E}A$ y $180°-B\widehat{E}D=B\widehat{E}A=C\widehat{D}A$. Además, como $B\widehat{A}D=D\widehat{A}C$, tenemos que $\bigtriangleup ABE \simeq \bigtriangleup ADC$ y $\bigtriangleup AEK \simeq \bigtriangleup ABD$ por AAA. Por esto, las proporciones son:
[*]$\bigtriangleup ABE \simeq \bigtriangleup ADC \rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{BE}}$
[*]$\bigtriangleup AEK \simeq \bigtriangleup ABD \rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{EK}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AK}}$
Por esto, $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AK}} \Rightarrow \sqrt{20\times 16}=\overline{AB}=8\times \sqrt{5}$
Con esto, tenemos: $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{DC}=\frac{20\times 12}{8\times \sqrt{5}}=6\times \sqrt{5} \Rightarrow \overline{BC}=12+6\times \sqrt{5}$
Por esto, $Per(\bigtriangleup ABC)=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=8\times \sqrt{5} + (12+6\times \sqrt{5}) + 36=48+14\times \sqrt{5} \approx 79,305$
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LorenzoRD

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 3

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Mar 12 May, 2020 11:07 am

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$AC=AK+KC=16+20=36$. También $∠BAD=∠CAD=α$. Como $BD=BE=12$, entonces $∠BED=∠BDE=β$. Por opuestos por el vértice, $∠AEK=∠BED=β$.

$△ADB$ y $△AEK$ son semejantes porque tienen los mismos ángulos ($α$, $β$, y el tercero es lo que le falta para llegar a $180º$, lo llamamos $γ$), con una razón $r_1=\frac{AB}{AK}$.

$△ABC$ y $△ABK$ son semejantes porque tienen los mismos ángulos ($2α$, $γ$, y el tercero es lo que le falta para llegar a $180º$), con una razón $r_2=\frac{AC}{AB}$. De esto sale que $\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AK}$, con lo que $AB^2=36∗16$ y finalmente $AB=24$.

Con este nuevo dato, deducimos que $r_1=\frac{AB}{AK}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$, y que $r_2=\frac{AB}{AK}=r_1=\frac{3}{2}$.

$\frac{BD}{EK}=\frac{3}{2}$. Por lo tanto, $EK=\frac{12×2}{3}=8$.

$BK=BE+EK=12+18=20$.

$\frac{BC}{BK}=\frac{3}{2}$. Por lo tanto, $BC=\frac{20×3}{2}=30$.

Finalmente, el perímetro de $△ABC$ es igual a $AB+BC+AC=24+30+36=90$.

HelcsnewsXD

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Re: COFFEE "Carolina González" - Problema 3

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Mar 12 May, 2020 1:23 pm

HelcsnewsXD escribió:
Mar 12 May, 2020 1:37 am
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Como $B\widehat{E}D=B\widehat{D}E$, tenemos que $B\widehat{E}D=B\widehat{D}E=K\widehat{E}A$ y $180°-B\widehat{E}D=B\widehat{E}A=C\widehat{D}A$. Además, como $B\widehat{A}D=D\widehat{A}C$, tenemos que $\bigtriangleup ABE \simeq \bigtriangleup ADC$ y $\bigtriangleup AEK \simeq \bigtriangleup ABD$ por AAA. Por esto, las proporciones son:
[*]$\bigtriangleup ABE \simeq \bigtriangleup ADC \rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{BE}}$
[*]$\bigtriangleup AEK \simeq \bigtriangleup ABD \rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{EK}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AK}}$
Por esto, $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AK}} \Rightarrow \sqrt{20\times 16}=\overline{AB}=8\times \sqrt{5}$
Con esto, tenemos: $\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{DC}=\frac{20\times 12}{8\times \sqrt{5}}=6\times \sqrt{5} \Rightarrow \overline{BC}=12+6\times \sqrt{5}$
Por esto, $Per(\bigtriangleup ABC)=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=8\times \sqrt{5} + (12+6\times \sqrt{5}) + 36=48+14\times \sqrt{5} \approx 79,305$
Está bien planteado, solo que me confundí. No puse el valor de $\overline{AC}$ correcto. Es $\overline{AB}=\sqrt{36\times 16}$, lo cual nos da $24$. Y después se resuelve bien el problema llegando a que el perímetro es $90$
1  
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