Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 1 - Problema 3

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Monazo

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Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo »

Se tiene un pentágono de papel $ABCDE$ de lados $AB,BC,CD,DE,EA$, tal que $AB=BC=CD$, $A\widehat BC=B\widehat CD=D\widehat EA=90^\circ$ y $AE=DE$. Dividir el pentágono mediantes dos cortes rectos en tres pedazos, de modo tal que con los tres pedazos se arme un rompecabezas cuadrado. Explicar porqué al reacomodar convenientemente los tres pedazos se obtiene efectivamente un cuadrado.
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
Juaco

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Re: Provincial (Metropolitana) 1999 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Juaco »

Solución:
Spoiler: mostrar
los cortes son por las rectas $CM $ y $EM $ siendo $M $ el unto medio de $AB $
Screenshot_2021-04-12-16-46-23-1.png
Demostración:
Spoiler: mostrar
si $2a = AB \Rightarrow [ABCDE] = 5a^2$ por lo que el lado del cuadrado que se va a formar es $\mathcal {l} = a\sqrt5$

Sea $M $ el punto medio de $AB $ y la medida $a = AM $.
está claro que $CM = a\sqrt 5$ y por el teorema del coseno se deduce que $EM = CM $.
Hago una rotación con centro en $C $ al triángulo $CBM$ de $90^o $ y una con centro en $E $ al triángulo $EAM $ de un ángulo de $-90^o $
En las 2 el punto $M $ se va al mismo punto $M'$

Ahora bien, tenemos que $EM = MC = CM' = M'E $ y $\sphericalangle MEM' = \sphericalangle MCM' = 90^o $ por lo que $EMCM'$ es el cuadrado de lado $\mathcal {L} = a\sqrt5$ como quería.



si no queda claro, puede verse acá con semejanza, congruencia y angle chasing
Screenshot_2021-04-12-16-37-55-1.png
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