Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 1 - Problema 3

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Monazo

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Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Mié 20 May, 2020 3:58 pm

Sea $ABCD$ un cuadrado de lados $AB = BC = CD = DA = 12$, $E$ el punto medio de $DA$ y $F$ el punto medio de $BC$. Se trazan los segmentos $EF, AC$ y $BE$, que dividen al cuadrado en seis regiones. Calcular el área de cada una de estas regiones.
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Dauphineg

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Re: Provincial (Metropolitana) 2000 - Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mié 29 Jul, 2020 4:36 am

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Definimos $\overline{AC}\cap \overline{EB}=G;\overline{AC}\cap \overline{EF}=H$. Como $AE\parallel BC \Rightarrow \bigtriangleup AEG\sim \bigtriangleup BCG$ y como $\overline{BC}=12$ es el doble de $\overline{ae}=6$ sera la altura del $\bigtriangleup BCG$ el doble de la altura del $\bigtriangleup AEG$ ambas trazadas desde $G$, entonces como ambas alturas suman $12$ serán cada una $8$ y $4$ respectivamente.
Luego tendremos $Area (BCG)=\frac{12.8}{2}=48$ y también $Area (AEG)=\frac{6.4}{2}=12$
Como $\angle FCH=45^{\circ}$ y $\overline{AE}$ es igual y paralelo a $\overline{FC}$ entonces los $\bigtriangleup AEH$ y $\bigtriangleup HFC$ son triángulos rectángulos isósceles y además iguales.
$\Rightarrow Area (HFC)=\frac{6.6}{2}=18 \Rightarrow Area (EGH)=Area (AEH)-Area (AEG)=Area (HFC)-Area (AEG)=18-12=6$
Además $Area (GHFB)=Area (BCG)-Area (HFC)=48-18=30$ y también $Area (EHCD)=Area (EFCD)-Area (HFC)=12.6-18=54$ y por último
$ Area (AGB)=Area (ABFE)-Area (AEG)-Area (EGH)-Area (GHFB)=6.12-12-6-30=24$
Respuesta: Las áreas de las regiones son $6,12,18,24,30,54$

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