Zonal 2009 N3 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Zonal 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se tienen dos figuras superpuestas: el cuadrado $ABCD$ de lados $AB=BC=CD=DA=6$ y el triángulo isósceles $ABE$ de base $AB$, con $AE=BE$. Se sabe que el área de la superposición es igual a $\frac{3}{4}$ del área del cuadrado. Calcular el área de la porción del triángulo que no se superpone con el cuadrado.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Juan Cruz Roldán

COFFEE - Mención-COFFEE Iván Sadofschi
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Re: Zonal 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Juan Cruz Roldán »

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Primero, el área de la superposición: $36 \times 3/4 = 27$. Después planteamos la ecuación con el área del trapecio: $[(6+b) \times 6]/2=27$ cuya solución es: $3$. Luego notamos que la parte que no se superpone al cuadrado es semejante al triángulo completo. Calculamos la razón de semejanza: $1.5/3=1/2$. Con la ecuación: $(6+x)/2=x$ obtenemos $6$ la altura de dicho triángulo. Luego $1.5 \times 6 = 9$ obtenemos así el área de la parte no supuesta, la cual puede verificarse mediante la semejanza de áreas.
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Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos:
– y = ax2 + bx + c
– ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos.
– A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !
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Tomás Morcos Porras

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Re: Zonal 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

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Zonal 2009 N3 P3.png
Defino $M$ como la intersección entre $\overline{BE}$ y $\overline{CD}$, $N$ como la de $\overline{AE}$ y $\overline{CD}$, y $P$ como el punto medio de $\overline{CD}$.
Como el área de $\square{ABCD}$ es $6^2=36$, el área de la intersección con $\triangle{ABE}$ será $\frac{3\times 36}{4}=27$. El área restante ($9$) se puede atribuir a la suma de $\triangle{ADN}$ y $\triangle{BCM}$ y, como son congruentes ($ABMN$ es claramente un trapecio isósceles), cada uno tiene por área $\frac{9}{2}$. Además, sabemos que tienen base $6$ ($\overline{BC}$ y $\overline{AD}$ son lados del cuadrado), por lo que $\frac{6\times \overline{DN}}{2}=\frac{6\times \overline{MC}}{2}=\frac{9}{2}\implies \overline{DN}=\overline{MC}=\frac{3}{2}$, de donde $\overline{NP}=\overline{MP}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Por último, podemos ver que $\widehat{BMC}=\widehat{EMP}=\widehat{AND}=\widehat{ENP}$ por opuestos por el vértice, $\overline{DN}=\overline{MC}=\overline{NP}=\overline{MP}=\frac{3}{2}$, y $\triangle{ADN},\triangle{ENP},\triangle{EPM},\triangle{BCM}$ son todos rectángulos, así que son congruentes por ALA y su área es la misma, $\frac{9}{2}$. El área de $\triangle{ENM}$ es $\frac{2\times 9}{2}=9$.
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drynshock

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Re: Zonal 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por drynshock »

¡CUIDADO! No vaya a ser este el problema mas difícil y peligroso de todo oma:
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Area cuadrado = 6², area no ocupada $= 6². \frac{1}{4} = 9$
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Ojalá todo fuera tan facil... solución posta:

$\frac{(x+6)6}{2}=27$
$x=3$

$\frac{6}{3} = \frac{x+6}{x}$
$1= \frac{6}{x}$
$x=6$

$\frac{6.3}{2}=9$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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