Zonal 2008 N3 P3

[Gianni De Rico]

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$, y lados no paralelos $BC$ y $DA$, con $B\widehat AD=A\widehat DC=90^\circ$. La perpendicular a la diagonal $AC$ trazada desde $B$ corta a $AC$ en $E$. Si $AB=125$, $AE=35$ y $CE=50$, calcular el área del trapecio $ABCD$.

[Tomás Morcos Porras]

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Zonal 2008 N3 P3.png

Dibujo el punto $F$ en la prolongación de $\overline{CD}$, tal que $\overline{BF}$ es perpendicular a $\overline{CD}$. Por Pitágoras, tenemos que $\overline{BE}=120$ y $\overline{BC}=130$. Además, $\overline{AC}=\overline{AE}+\overline{CE}=85$
Llamo $x$ a $\overline{CD}$ e $y$ a $\overline{DA}$. Luego, tenemos salen dos ecuaciones por Pitágoras en función de $x$ e $y$:
i) $x^2+y^2=85^2$
ii) $(125-x)^2+y^2=130^2$
Resto i) a ii):
$(125-x)^2+y^2-x^2-y^2=130^2-85^2$
$125^2-250x=9675$
$15625-9675=250x$
$5950=250x$
$23,8=x$
Luego, saco $y$ en función de $x$:
$85^2-23,8^2=y^2$
$81,6=y$
Por último, el área del trapecio es la semisuma de las bases por la altura, así que meto los números:
$81,6\times \frac{125+23,8}{2}=6071,04$

[Gianni De Rico]

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Dibujo el punto $F$ en la prolongación de $\overline{CD}$, tal que $\overline{BF}$ es perpendicular a $\overline{CD}$. Por Pitágoras, tenemos que $\overline{BE}=120$ y $\overline{BC}=130$. Además, $\overline{AC}=\overline{AE}+\overline{CE}=85$
Llamo $x$ a $\overline{CD}$ e $y$ a $\overline{DA}$. Luego, tenemos salen dos ecuaciones por Pitágoras en función de $x$ e $y$:
i) $x^2+y^2=85^2$
ii) $(125-x)^2+y^2=130^2$
Resto i) a ii):
$(125-x)^2+y^2-x^2-y^2=130^2-85^2$
$125^2-250x=9675$
$15625-9675=250x$
$5950=250x$
$23,8=x$
Luego, saco $y$ en función de $x$:
$85^2-23,8^2=y^2$
$81,6=y$
Por último, el área del trapecio es la semisuma de las bases por la altura, así que meto los números:
$81,6\times \frac{125+23,8}{2}=6071,04$

Ojo, siempre conviene dejar los resultados expresados como fracción, sin redondear, para evitar posibles errores.

[Tomás Morcos Porras]

Ojo, siempre conviene dejar los resultados expresados como fracción, sin redondear, para evitar posibles errores.

Nunca esté de más la aclaración, pero justo en este ejercicio me dio todo "redondo" de dos cifras decimales. Es decir, los resultados están exactos de acuerdo a las cuentas, no redondeé nada.