XX Rioplatense N2 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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amcandio

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XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por amcandio » Vie 09 Dic, 2011 8:10 pm

Sean [math] puntos en una recta, en ese orden, con [math]. Sean [math] en la circunferencia de diámetro [math], [math] el simétrico de [math] con respecto a [math], [math] el simétrico de [math] con respecto a [math]. La recta [math] corta a [math] en [math].
Demostrar que los triángulos [math] y [math] son congruentes.
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Ivan

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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por Ivan » Sab 10 Dic, 2011 6:53 pm

El enunciado correcto es [math] colineales, con [math] entre [math] y [math].

Cuando lo postearon decía "Sea [math] un segmento" y pensé que estaba mal, por eso lo edité. Disculpe las molestias ocasionadas (???)
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Nacho

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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por Nacho » Dom 11 Dic, 2011 2:43 am

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Notemos primero que [math]. ya que [math] es diámetro. Entonces, [math]. Por definición de los puntos, [math] ya que es base media de [math], de donde tenemos que [math]. Como [math] es punto medio de la hipotenusa de [math], tenemos que [math]. Si dejamos que [math], vemos que [math] y [math]. Definimos [math].

Por definición del seno en [math], tenemos que [math]. Por teorema del seno en [math], tenemos que [math]. Si combinamos esas dos expresiones, obtenemos que [math]. Pero por definición del seno en el triángulo [math], tenemos que [math], de donde vemos que [math] y [math] es punto medio de [math].

Sea [math] el punto medio de [math]. [math], ya que es base media del triángulo [math]. Luego, [math]. Por definición de coseno en [math], [math], y por definición de coseno en [math], [math], de donde vemos que [math], y así vemos que [math] es isósceles. Luego, [math]. Pero como también teníamos que [math], tenemos todos los ángulos en común. Pero finalmente, [math], y así los triángulos [math] y [math] son congruentes.
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Caro - V3

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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 13 Dic, 2011 12:05 pm

Que asqueroso que sos Nacho!

Solución sin trigonometría:
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Rio 2011 N2P4.png
Como [math] está en la circunferencia de diámetro [math] (y no es ni [math] ni [math], porque si lo fuera quedaría todo en una recta y no tendría mucho sentido el problema): [math]
Luego, [math].
Además, como [math] (porque [math] es el simétrico de [math] respecto de [math]), tenemos que los triángulos [math] y [math] son congruentes. Por lo tanto [math].
[math]
Ya tenemos un lado.

Como [math] y [math] son congruentes, [math]
[math]
Ya tenemos un ángulo.

Entonces estaría bueno ver que [math].
Para eso miremos el triángulo [math].
Como [math], [math] es mediana del triángulo.
Además, [math]. Es decir que [math] es un punto que divide a [math] en una razón de [math]. Por lo tanto [math] es el baricentro del triángulo.
Entonces la ceviana (http://es.wikipedia.org/wiki/Ceviana) que pase por [math] y [math] también será mediana del triángulo. Ese segmento es [math] (porque así está definido en el enunciado del problema).
Por lo tanto [math] divide a [math] en [math]. Así que [math].

Tenemos:
[math]
[math]
[math]
Aplicando el criterio de congruencia de "dos lados y el ángulo comprendido entre ellos", nos queda que [math] y [math] son congruentes :D
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

jonyayala_95
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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Dom 11 Mar, 2012 9:10 pm

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Otra sol:

Es claro que [math] y como [math] es punto medio de [math] entonces el [math] es isosceles con [math] y como [math] es punto medio de [math] entonces [math] y ya tenemos un lado compartido.

Por lo que dijimos antes [math] (porque son opuestos por el vertice). Ahora tenemos un angulo compartido.

Veamos que [math]:

Por el Teorema de Menelao en [math] y usando que [math] son colineales tenemos:

[math]

[math] entonces [math]

Y ahora como tenemos [math] lados y el angulo compredido entre ellos igual en ambos triangulos resultan resultan congruentes. (Criterio [math])

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amcandio

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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por amcandio » Mar 13 Mar, 2012 11:28 pm

jonyayala_95 escribió:Por el Teorema de Menelao
Good job Jonny (?)
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Gianni De Rico

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Re: XX Rioplatense N2 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Dic, 2019 5:13 pm

Casi sin angulitos

Solución:
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Rioplatense 2011 N2 P4.png

Sea $O$ el punto medio de $AB$, luego, $O$ es el centro de $\odot ABP$, por lo que $OA=OB=OP$. Por definición de simétrico tenemos que $P$ es el punto medio de $BQ$, luego, $OP$ es base media en $ABQ$, por lo que $AQ=2OP=OP+OP=OA+OB=AB$, y nuevamente por simetría tenemos $QR=2AQ=2AB=BC$. (*)

Como $CA$ es mediana en $CQR$ y $CB=2BA$, tenemos que $B$ es el baricentro de $CQR$, por lo que $QD$ es mediana en $CQR$ y $2QP=QB=2BD$, de donde $QP=BD$. (**)

Como $AB=AQ=AR$, tenemos que $BQ\perp BR$, y como $BD=QP=PB$, tenemos que $RB$ es altura y mediana en $PRD$, por lo que $PRD$ es isósceles con $PR=RD$, pero $RD=CD$ por ser $QD$ mediana, luego, $PR=CD$. (***)

De (*), (**) y (***) tenemos que los triángulos $PQR$ y $BCD$ tienen $3$ pares de lados iguales, por lo que son congruentes.
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