FOFO 9+1 Años - Problema 4

[Joacoini]

Sea $ABCD$ un rombo. En los lados $AB$ y $AD$ se marcan los puntos $E$ y $F$, respectivamente, tales que $AE=DF$. Las rectas $BC$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $CD$ y $BF$ se cortan en $Q$. Demostrar que $P$, $A$ y $Q$ pertenecen a una misma recta.

[Joacoini]

Aquí vamos a publicar la solución oficial.

[joa.fernandez]

Solución:

Spoiler: mostrar

Como $AB\parallel QD$, se tiene por Thales que $\dfrac{AB}{QD} = \dfrac{AF}{FD}~~$ (1). Análogamente, como $PB \parallel AD$ se tiene que $\dfrac{AD}{PB} = \dfrac{AE}{EB}~~$ (2). Usando que $AF=EB$ y $AE=FD$, multiplicando (1) y (2) llegamos a que

$\dfrac{AB}{QD}\dfrac{AD}{PB} = 1~~\Rightarrow ~~\dfrac{AD}{QD}=\dfrac{PB}{AB}$ (3).

Además, $P\widehat{B}A=B\widehat{A}D = A\widehat{D}Q$ por ángulos entre paralelas. Juntando esto con (3), como el ángulo comprendido es el mismo, $\triangle{QDA} \simeq \triangle{ABP}$, con $B\widehat{P}A=D\widehat{A}Q$.
Por último, notemos que $D\widehat{A}P= 180°-B\widehat{P}A =180°-D\widehat{A}Q~~\Rightarrow~~ 180° = D\widehat{A}P + D\widehat{A}Q$, por lo que $P$, $A$ y $Q$ son colineales.

[Sandy]

Solución:

Spoiler: mostrar

Sean $Q'=PA\cap CD$ y $F'=Q'B\cap AD$.
$AB\parallel CD\Longrightarrow \frac{AE}{Q'D}=\frac{AB}{Q'C}\Longrightarrow AE=\frac{AB\times Q'D}{Q'C}$
$BC\parallel AD\Longrightarrow \frac{F'D}{BC}=\frac{Q'D}{Q'C}\Longrightarrow F'D=\frac{Q'D\times BC}{Q'C}=\frac{Q'D\times AB}{Q'C}=AE=FD\Longrightarrow F'=F\Longrightarrow Q'=Q\Longrightarrow P, A, Q\; \text{son colineales.}$