Consideremos dos circunferencias concéntricas de radios $r$ y $R$ con centro $O$ . Fijemos un punto $P$ en la circunferencia menor y consideremos una cuerda variable $AP$ de la circunferencia menor. Los puntos $B$ y $C$ yacen en la circunferencia mayor tales que $B$, $P$ y $C$ son colineales y $AP$ es perpendicular a $BC$.
¿Para qué valores del ángulo $\angle AOP$ es la suma $BC^2+CA^2+AB^2$ lo mayor posible?
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de $AC$ y $AB$ de al variar el ángulo $\angle AOP$?
(Notemos que podemos sacar raíz de esa forma porque al ser $\alpha$ agudo, $\cos(\alpha)$ es positivo y como miramos la medida de los lados en valor absoluto, $AP$ y $r$ son positivos, de donde $\cos(\alpha)$ debe ser positivo).
Variar el ángulo es lo mismo que mover el punto $A$
Sea $\omega$ la cfa chica y $\Gamma$ la cfa grande, $D=AO \cap \omega$, $(D \in BC)$, $L$ el punto medio de $BC$ y sea $G$ el baricentro de $\triangle ABC$
IMO 1988 P1.jpg
como $O, L$ están en la mediatriz de $BC$ Tenemos que $OL \perp BC \Rightarrow L$ es punto medio de $DP$.
por ser $G$ baricentro se tiene que está en $AL$ y además $\frac{AG}{GL} = 2$ por lo tanto $G$ es el baricentro de $\triangle ADP$ (ya que $AL$ es mediana), y entonces $O,G,P$ son colineales y además $\frac{PG}{OG}=2$ por lo que $G$ es fijo ya que $O,P$ son fijos.
Sea $\mathcal{H}$ la homotecia de centro $G$ y razón $k=-2$
Tenemos entonces:
$\mathcal{H}(N)=B$
$\mathcal{H}(M)=C$
$\mathcal{H}(L)=A$
y si $O_2$ es el punto medio de $OP$ entonces $\mathcal{H}(O_2)=O$
ahora como $B,C$ se mueven en una circunferencia fija de centro $O$, los puntos homotéticos $N,M$ se mueven en una cfa fija de centro $O_2$
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