Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

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Monazo

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo »

Sean $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ dos circunferencias de radios distintos, con $\Gamma _1$ la de radio más chico. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos distintos $A$, y $B$. Sea $C$ en $\Gamma _1$ y $D$ en $\Gamma _2$ tales que $A$ es el punto medio del segmento $CD$. Se sabe que la recta $CB$ corta a $\Gamma_2$ en $F$ de modo que $B$ está entre $C$ y $F$, y la recta $DB$ corta a $\Gamma _1$ en $E$ de modo que $B$ está entre $D$ y $E$. Las mediatrices de $CD$ y $EF$ se cortan en $P$.

a) Demostrar que $E\hat{P}F=2C\hat{A}E$.

b) Demostrar que $AP^2=CA^2+PE^2$.
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El Apache yasabes

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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

El punto $B $ tiene que estar necesariamente entre $D $ y $E $? Porque viendo los intervalos en donde podría estar $D $ me da que $E $ tiene que estar entre $B $ y $D $
O no sé capaz estoy viendo algo mal...
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

joa.fernandez

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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 2

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

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Chan

Es el mismo problema.

Como comentario, se puede ahorrar la parte de angulitos notando la rotohomotecia de centro $A$ que manda $DF$ a $CE$.

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