XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P22

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Nando

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XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P22

Mensaje sin leer por Nando »

Un poliedro convexo y un punto $K$ exterior a este son dados. Para cada punto $M$ del poliedro construimos una esfera con diámetro $MK$. Probar que existe un único punto en el poliedro que pertenece a todas estas esferas.

El Apache yasabes

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P22

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

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Sea $\mathcal {P} $ el poliedro y $P \in \mathcal {P} $ tal que $P $ es el punto del poliedro más cercano a $K $
El punto $P $ es unico:
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si tomo una esfera $\mathcal {E} $ de radio arbitrario (lo suficientemente grande, y si es chico se hace al revés) y voy achicando el radio hasta que $\mathcal {E} $ sea tangente a $\mathcal {P}$, si fuera tangente en más de un punto entonces $\mathcal {P} $ sería cóncavo por lo que si $d = d_{min}(K, \mathcal {P}) $ (es la distancia mínima) entonces solo hay un punto en el poliedro tal que $d (P, K) = d $
Sea $N $ el punto medio de $PK $ entonces la esfera de centro $N $ y radio $NP = NK $ es tangente a $\mathcal {P} $ en $P $ por lo que $P $ es el único punto del poliedro que pertenece a la esfera de diámetro $PK $.

Consideremos un plano $\alpha $ que pasa por $P $ y es perpendicular a $PK $, entonces esta claro que cada punto $M \in \mathcal {P} $ esta del otro lado del plano $\alpha $ respecto al punto $K $ (no conozco una expresión matemática para esto, perdón por decirlo así pero creo que se entiende la idea), esto queire decir que para todo punto $M \in \mathcal {P} $ se tiene que $M\hat {P}K > 90$ por lo que $P $ siempre está en la esfera de diámetro $MK $

Conclusión: el punto $P $ ya definido pertenece a la esfera de radio $MK $ para todo $M \in \mathcal {P} $ y es el único que pertenece a la esfera de diámetro $PK $ por lo que es el punto que estamos buscando.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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Fran5

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P22

Mensaje sin leer por Fran5 »

El Apache yasabes escribió:
Mar 04 May, 2021 12:41 am
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Consideremos un plano $\alpha $ que pasa por $P $ y es perpendicular a $PK $, entonces esta claro que cada punto $M \in \mathcal {P} $ esta del otro lado del plano $\alpha $ respecto al punto $K $ (no conozco una expresión matemática para esto, perdón por decirlo así pero creo que se entiende la idea), esto queire decir que para todo punto $M \in \mathcal {P} $ se tiene que $M\hat {P}K > 90$ por lo que $P $ siempre está en la esfera de diámetro $MK $

Ojo, puede ser que $M$ esté en ese plano, de modo que tu desigualdad estricta es en realidad una desigualdad.
De todos modos, cambiar el $>$ por un $\geq$ no cambia para nada la conclusión.
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El Apache yasabes

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P22

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

Uuuh cierto, igual es verdad que no cambia nada porque si ese caso no contara entonces $P $ tampoco estaría en la esfera de diámetro $PK $

Gracias por la aclaración, se me paso por alto ese detalle.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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