XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P21

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Nando

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XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P21

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Un trapecio $ABCD$ es bicéntrico, el vértice $A$, el incentro $I$ y el circuncírculo $\omega$ con centro $O$ son dados, y el trapecio es borrado. Reconstruir el trapecio usando únicamente una regla.

El Apache yasabes

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P21

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

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construcciones previas:
Paralela a una recta por un punto dado:
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por el teorema de Poncelet-Steiner sabemos que toda construcción con regla y compás se puede hacer solo con regla teniendo una circunferencia inicial y su centro, entonces para la primera vamos a tomar un diámetro $YZ $ de esta circunferencia inicial de centro $O $ y un punto $X $ exterior a la recta $YZ $ (las otras se pueden hacer a partir de esta). tomamos un punto $P \in XZ $, luego un punto $Q = OP \cap XY $ y $R = YP \cap ZQ $. Entonces $XR \parallel YZ $.
Simétrico de un punto respecto de otro punto:
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dados 3 puntos $A, P, I $ trazo larecta $r$ paralela a $AI $ por $P $, tomo $Q \in PI $, la paralela por $Q $ corta a $AP $ en $X $, tenemos $T = IX \cap r$. entonces $A' = TQ \cap AI$ es el simético de $A $ respecto a $I $
Punto medio de un segmento:
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dado un segmento $XY $ Tomó un punto $P \notin XY $ y un punto $Q \in PY $, la paralela a $XY $ por $Q $ corta a $PX $ en $R $, ahora si tomamos $Si = YR \cap QX $ y $M = PS \cap XY $ entonces $M $ es punto medio de $XY $
Eso fue para mostrar las construcciones, no confundir los puntos mencionados con los próximos puntos nombrados igual

Construcción del punto $D$: sean $P$ y $Q $ las intersecciones de $OI$ con $\omega $ tales que $Q$ está en el arco $AD $ que no contiene ni a $B $ ni a $C $, la paralela a $AQ $ por $P$ corta a $\omega $ en $R $ y la paralela a $PQ $ por $R $ corta a $\omega $ en $D $

Ahora si tomamos los simétricos de $A $ y $D $ respecto a $I $ ($A'$ y $D'$ respectivamente) entonces la recta $A'D'$ corta a $\omega $ en los puntos restantes del trapecio $B $ y $C $.
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

El Apache yasabes

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P21

Mensaje sin leer por El Apache yasabes »

El Apache yasabes escribió:
Sab 01 May, 2021 2:10 pm
Paralela a una recta por un punto dado:
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por el teorema de Poncelet-Steiner sabemos que toda construcción con regla y compás se puede hacer solo con regla teniendo una circunferencia inicial y su centro, entonces para la primera vamos a tomar un diámetro $YZ $ de esta circunferencia inicial de centro $O $ y un punto $X $ exterior a la recta $YZ $ (las otras se pueden hacer a partir de esta). tomamos un punto $P \in XZ $, luego un punto $Q = OP \cap XY $ y $R = YP \cap ZQ $. Entonces $XR \parallel YZ $.
Capaz no es tan trivial eso de que "las otras se pueden hacer a partir de esta" así que lo pongo acá a parte para que no haya dudas por si alguno No sabe hacerlo:
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La circunferencia $\Gamma $ y su centro $O $ ya son dados, tenemos una recta $\ell $ y queremos la paralela por un punto $P $ (exterior a esta claro, sino sería trivial).

Tomamos un punto $A \in \ell$ y trazamos la recta $AO $ que corta a $\Gamma $ en los puntos $C $ y $B $, luego un punto $D \in \ell$ de tal forma que la paralela a $AO $ por $D $ corta a $\Gamma $ (yo lo voy a tomar como que corta en 2 puntos pero si es tangente también vale) en los puntos $E, F $, luego las rectas $EO, FO $ cortan a $\Gamma $ en $G $ y $H $. Por último sea $Q = GH \cap \ell \Rightarrow$ sabemos que $Q, A, D \in \ell $ y a demás $A $ es punto medio de $QD$ y con esto ya sabemos como hacer la paralela a $\ell$ por $P $
Screenshot_2021-05-03-17-37-58-1.png
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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