XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P11

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Nando

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XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P11

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Los puntos medios de cuatros lados de un pentágono cíclico son marcados, después este pentágono fue borrado, restaurar el pentágono.
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Fran5

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Re: XVII OLIMPIADA DE GEOMETRÍA EN HONOR A I.F. SHARYGIN - Ronda por correspondencia - P11

Mensaje sin leer por Fran5 »

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Supongamos que $ABCDE$ es el pentagono y tenemos $M,N,O,P$ marcados, los puntos medios $AB,BC,CD,DE$

Por el teorema de Varignon, tenemos que si $MNOX$ es un paralelogramo, donde $X$ es el punto medio de $DA$ y también que $NOPY$ es un paralelogramo, donde $Y$ es el punto medio de $EB$. Luego podemos marcar $X,Y$

Ahora, $MY = PX = AE/2$, $MN = XO = AC/2$ y $OP = XN = CE/2$., de donde $MNX$ y $OPY$ son semejantes a $AEC$. Más aún, son homotéticos con centro $B$ y $D$ respectivamente y razón $\frac{1}{2}$, de donde podemos marcar sus circunferencias circunscritas con centros $I,J$ y ver que se intersectarán en el interior de la circunferencia de $ABCDE$.

Uno de esos puntos de intersección será el circuncentro $G$ de $ABCDE$ (ya que son circunferencias de radio $\frac{1}{2}$ el radio del circuncírculo de $ABCDE$) y el otro ($Z$) será el punto medio $Z$ de $BD$.

Podemos recuperar el circuncírculo de $ABCDE$ trazando el círculo de centro $G$ y radio $2GI = 2GJ$.
Podemos recuperar $B,D$ trazando las rectas $GI$ y $GJ$
Podemos recuperar los puntos $A,C,E$ trazando las rectas $BM$, $BN$ y $BX$.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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