Intercolegial 2021 - N1 P5

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Monazo

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Intercolegial 2021 - N1 P5

Mensaje sin leer por Monazo »

Juan debe dibujar todos los triángulos isóseceles con todos sus lados de longitud entera y un lado de longitud $221$ que sea el más largo de los tres. Además la longitud de los lados iguales debe ser múltiplo de $3$. ¿Cuántos triángulos debe dibujar Juan?
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
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Tiziano Brunelli

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Re: Intercolegial 2021 - N1 P5

Mensaje sin leer por Tiziano Brunelli »

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como 221 no es múltiplo de 3 no puede ser esa la longitud que se repita. Como los otros dos lados son congruentes, suponiendo que miden $a \in \mathbb{N}$, entonces necesariamente $221<2a$ porque sino no cerraría el triángulo y además $a<221$ porque 221 es el lado mayor y 221 no es múltiplo de 221, por lo que $\frac{221}{2}<a<221$. Como $a$ es entero múltiplo de 3 es lo mismo que decir $111\leq 3k\leq 219$, siendo $a=3k; k \in \mathbb{N}$ , entonces $37\leq k\leq 73$, como todos los valores que puede tomar $k$ son 37 valores, y como a cada $k$ le corresponde único $a$, entonces hay 37 valores distintos para $a$, osea, hay 37 triángulos distintos que se tendrán que dibujar
"cada vez que uses xor, piensa en mí, estaré usando vectores módulo 2"- un cordobés a otro. :D
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Kechi

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Re: Intercolegial 2021 - N1 P5

Mensaje sin leer por Kechi »

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Los lados iguales son de la forma $3l$ con $l$ entero, por cada valor posible de $l$ hay un triángulo isósceles distinto con lados iguales de longitud $3l$ que Juan debe dibujar.
Como el lado mayor mide $221$, tenemos que $3l<221$ y al dividir entre tres llegamos a que
$$l<73,\widehat6$$
Como la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado, entonces $2(3l)>221$ y al dividir entre seis obtenemos que
$$l>36,8\widehat3$$
Combinando ambas desigualdades quedamos en
$$36,8\widehat3<l<73,\widehat6$$
$l$ puede tomar cualquier valor entero entre $37$ y $73$ inclusive, y por lo tanto Juan debe dibujar $73-37+1=37$ triángulos.
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
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