Zonal 2021 - N1 P3

[Gianni De Rico]

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $\widehat B=\widehat C$ y $\widehat A$ mayor que $90^\circ$. La bisectriz del ángulo $\widehat C$ corta al lado $AB$ en $D$. Sean $E$ en $BC$ tal que $DE=BE$ y $F$ en $BE$ tal que $DF$ es la bisectriz del ángulo $B\widehat DE$.
Si $F\widehat DC=116^\circ$, calcular la medida del ángulo $A\widehat BC$.

[brunecesare012020]

¡Hola!, esta es mi resolución al problema número 3 del Zonal 2021 – Primer nivel.

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Primero, dibujé el triángulo, y anoté todos los datos. Luego:

(Aquí me refiero a ángulos) Si BDE es isóceles, el ángulo DBE=ángulo EDB. Entonces, el ángulo BDF+FDE=DBE. Y como en el ángulo C, BCD+DCA=BCA. Y como en ambas situaciones, los ángulos son iguales, entonces, BDF=FDE=BCD=DCA.

Si tomamos la recta AB (180°) y le restamos 116°, nos va a dar el ángulo BDF+el ángulo CDA. 180-116=64.
Y como el ángulo DCA es igual al ángulo BDF, por la comparación de ángulos anterior. Y tenemos que el ángulo CDA+ ángulo DCA=64, y podemos calcular A.

180-64=116=ángulo A.

Y como el ángulo B es igual al ángulo C, 180-116=64:2=32°

RESPUESTA: el ángulo ABC mide 32°

- Brune

[Mr. Shame]

Mi respuesta es la siguiente:

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Llamando $X$ al ángulo $A\hat{B}C$, e $Y$ al $B\hat{D}F$, el ángulo $D\hat{F}E$ $= X + Y$, ya que es exterior al triángulo $BDE$. Considerando que $BDE$ era isósceles $Y$ debía ser la mitad de $X$, y el ángulo $D\hat{C}B$ también es la mitad de $X$,ya que el triangulo $ACB$ es isósceles, por lo que $A\hat{C}B$ $= X$ y $\overline{CD}$ es la bisectriz de $A\hat{C}B$. Con eso armé la siguiente ecuación:

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$116 + X +$ $\frac{1}{2}$ $X +$ $\frac{1}{2}$ $X =180$
$2X = 180 − 116$
$2X = 64$
$X =$ $\frac{64}{2}$
$X =$ $32^{\circ}$

Entonces el ángulo $A\hat{B}C$ es de $32^{\circ}$