Entrenamiento IMO 2021 - Problema 17

[Tomás Morcos Porras]

Sea $ABCD$ un rectángulo. Consideramos los puntos $E$ de $CA$, $F$ de $AB$, $G$ de $BC$ tales que $DE\perp CA$, $EF\perp AB$ y $EG\perp BC$. Resolver en el conjunto de los números racionales la ecuación $AC^X=EF^X+EG^X$.

[Fran5]

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Como todo es homogéneo podemos suponer que $AC=1$

Es fácil ver que $AC > EF+EG$ con lo que si $X \geq 1$ no se cumple igualdad al ser $AC^X > (EF+EG)^X>EF^X+EG^X$. Del mismo modo, si $X \leq 0$ tenemos $1 < 2< EF^X+EG^X$

Sean $b=AE$ y $a=EC$, y también definamos $x=AB$ e $y=BC$. Queremos resolver $$(ax)^X+(by)^X =1$$

Es fácil ver que $a=x^2$, $b=y^2$ viendo los triángulo rectángulos semejantes $ACD, AED, ECD$, de donde tenemos $$x^{3X}+y^{3X}=1$$ sujeto a $(x,y,1)$ ser los lados del triángulo rectángulo $ABC$
Luego la única posibilidad es $3X=2$ o $X=\frac{2}{3}$