Entrenamiento IMO 2021 - Problema 59

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Tomás Morcos Porras

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Entrenamiento IMO 2021 - Problema 59

Mensaje sin leer por Tomás Morcos Porras »

Sean $I$ e $I_A$ el incentro y el $A$-excentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB <AC$. La circunferencia inscrita toca a $BC$ en $D$. La recta $AD$ corta a $BI_A$ y $CI_A$ en $E$ y $F$ respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AID$ e $I_AEF$ son tangentes.
¿Mis intereses? Las várices de Winston Churchill.

Juaco

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Re: Entrenamiento IMO 2021 - Problema 59

Mensaje sin leer por Juaco »

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antes que nada voy a definir un par de cosas:
$$\rule{75mm}{0,1mm}$$
$•$ $\Gamma$ es el circuncírculo de $\triangle ABC$
$•$ $\omega = \odot AID \hspace{0,3cm},\hspace{0,3cm}\Omega = \odot BICI_a$
$•$ $N$ es el punto medio del arco $BAC$ de $\Gamma$ y $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$
$•$ $O$ es el punto medio de $NI_a$, $G$ es el punto de contacto del $A-$excírculo con $BC$, $H = AD \cap I_aG$
$•$ $X$ es el punto de contacto de $\Gamma$ con el $A-$incírculo mixtilíneo y $T$ la reflexiónde $I$ por $X$
$$\rule{75mm}{0,1mm}$$
AIT 2021 P59.jpg
$$\rule{75mm}{0,1mm}$$
$T = \omega \cap \Omega$

$I_a\hat{T}N = I_a\hat{T}I = 90^{\circ}$
$I_a\hat{A}N = M\hat{A}N = 90^{\circ}$ entonces $I_aTAN$ es cíclico

Como $O$ es circuncentro se tiene que $O\hat{T}N = O\hat{N}T = I_a\hat{N}T = I_a\hat{A}T \Rightarrow OT$ es tangente a $\omega$

$F\hat{I_a}H = G\hat{I_a}C = 90^{\circ} - G\hat{C}I_a = I\hat{C}B = I\hat{I_a}B$
$A\hat{H}G = A\hat{D}I = A\hat{T}I = A\hat{I_a}M$
$E\hat{F}I_a = F\hat{H}G + F\hat{I_a}H = B\hat{I_a}O \Rightarrow OI_a$ es tangente a $\odot EI_aF$

Lo ideal sería que $T$ estéen esa circunferencia

Sea $T'$ el $\text{punto de Miquel}$ del cuadrilátero $CDEI_a$

$180 - A\hat{I}T' = I_a\hat{I}T' = I_a\hat{B}T' = E\hat{D}T' = 180 - A\hat{D}T'$
$T \in \omega \Rightarrow T = \omega \cap \Omega \Rightarrow T=T'$
$$\rule{75mm}{0,1mm}$$
$\left.\begin{array}{c}OA, OT \hspace{0,2cm} \text{son tangentes} \\ T \in \text{ambas circunferencias} \\ OI_a \hspace{0,2cm} \text{es tangente} \\ O \hspace{0,2cm} \text{circuncentro de} \hspace{0,2cm} \triangle ATI_a \end{array}\right\rbrace \Rightarrow \text{las circunferencias del problema son tangentes en} \hspace{0,2cm} T$
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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