Cono Sur 2021 - P6

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Uriel J

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Cono Sur 2021 - P6

Mensaje sin leer por Uriel J »

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circuncírculo $\Gamma$. Sean $P$, $Q$, $R$, $S$ puntos distintos en el lado $BC$, en ese orden, tales que $\angle BAP=\angle CAS$ y $\angle BAQ=\angle CAR$. Sean $U$, $V$, $W$, $Z$ las intersecciones distintas de $A$, de $AP$, $AQ$, $AR$ y $AS$ con $\Gamma$, respectivamente. Sean $X=UQ\cap SW$, $Y=PV\cap ZR$, $T=UR\cap VS$, $K=PW\cap ZQ$. Supongamos que están determinados los puntos $M$ y $N$ tales que $M=KX\cap TY$ y $N=TX\cap KY$. Demuestre que $M$, $N$, $A$ son colineales.
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Gianni De Rico

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Re: Cono Sur 2021 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Como$$\angle BCU=\angle BAU=\angle BAP=\angle SAC=\angle ZAC=\angle ZUC$$entonces $UZ\parallel BC$. Análogamente se tiene que $VW\parallel BC$ (en particular, es un trapecio isósceles, al ser cíclico).
Como $UA\cap WK=P$, $AV\cap KZ=Q$ y $VW\cap UZ=\infty _{BC}$, tenemos que $UAVWKZ$ cumple el Teorema de Pascal, y como $U,A,V,W,Z\in \Gamma$, entonces $K\in \Gamma$. Análogamente se tiene que $T,X,Y\in \Gamma$.
Consideramos la inversión de centro $A$ y radio $\sqrt{AB\cdot AC}$ seguida de la reflexión por la bisectriz de $ABC$. Esto manda $B\mapsto C$, $P\mapsto Z$, $Q\mapsto W$, $R\mapsto V$ y $S\mapsto U$, además manda $X,Y,K,T,M$ a $X',Y',K',T',M'$, donde $M'$ es el segundo punto de intersección de $(AX'K')$ y $(AY'T')$. Ahora, tenemos que $AX'WS$ es cíclico y $AY'VP$ es cíclico, luego$$\angle WX'Y'=\angle WX'S=\angle WAS=\angle PAV=\angle PY'V=\angle X'Y'V$$de modo que $X'Y'WV$ es un trapecio isósceles. Entonces si $G$ es el punto medio de $BC$, se tiene que $G$ está en la mediatriz de $BC$, luego en la de $VW$ y luego en la de $X'Y'$, es decir que $G$ es el punto medio de $X'Y'$. Análogamente, $G$ es el punto medio de $K'T'$. Entonces$$\operatorname{Pot}(G,(AX'M'K'))=GX'\cdot GK'=GY'\cdot GT'=\operatorname{Pot}(G,(AY'M'T'))$$con lo que $G$ está en el eje radical $AM'$ de $(AX'M'K')$ y $(AY'M'T')$, luego, $M'$ está en la mediana de $A$ en $ABC$. Entonces $M$ está en la simediana de $A$ en $ABC$. Análogamente, $N$ está en la simediana de $A$ en $ABC$.
Entonces $A,M,N$ son colineales.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Juaco

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Re: Cono Sur 2021 - P6

Mensaje sin leer por Juaco »

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Cono 2021 P6.jpg
Primero que nada los pares de puntos $(B,C); (P,S); (Q,R)$ se corresponden en una misma involucion por lo que $\{R, C; S, B\} = \{Q, B; P, C\} \underset{A}{=} \{V, B; U, C\} = \{U, C; V, B\} \Rightarrow T \in \Gamma$

De igual forma tenemos $K, X, Y \in \Gamma$

Ahora por teorema de Reim tenemos que $XYQR, XYPS, KPST, KPRT$ son cíclicos

*para que quede claro: $X\hat{Q}R = X\hat{U}Z = X\hat{Y}Z$, igual para los otros*

El centro radical es $F=BC \cap XY \cap KT$

Como $XYPS$ es cíclico tenemos $FX \cdot FY = FS \cdot FP$ por lo que $pot_F(\Gamma) = pot_F(\odot APS)$ así que si $A'$ es la segunda intersección de estas $2$ circunferencias tenemos que $A, A', F$ son colineales pero como $B\hat{A}P = S\hat{A}C$ tenemos que son tangentes por lo que $FA$ es tangente a $\Gamma$

Entonces los puntos $M, N, A$ están en la polar de $F$ respecto a $\Gamma$ por lo que son colineales
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$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $
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