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Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 09 Abr, 2012 6:11 pm
por Nacho
Un cuadrilátero convexo [math]ABCD tiene [math]AB=10, [math]BC=14, [math]CD=11 y [math]DA=5. Determinar el ángulo entre sus diagonales. (5 puntos).
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 09 Abr, 2012 6:20 pm
por Nacho
- Spoiler: mostrar
- Analítica strikes back!
Fijamos un sistema de ejes cartesianos con [math]A=(0,0) y tal que [math]AB sea el eje [math]x. Tenemos entonces [math]B=(10,0). Dejamos [math]C=(a,b) y [math]D=(x,y).
Por las condiciones de los módulos de los lados:
[math](a-10)^2 + b^2 = 14^2 \Rightarrow a^2+b^2 -20a = 96 \Rightarrow a^2 +b^2 = 96 +20a (1).
[math]x^2 + y^2 = 5^2 (2)
[math](x-a)^2 + (y-b)^2 = 11^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +a^2+b^2 - 2ax-2by = 11^2. (3)
Si reemplazamos (1) y (2) en (3) obtenemos que [math]20a - 2ax - 2by = 0 \Leftrightarrow a(10-x) - by = 0 (4).
Consideremos los vectores [math]\vec{CA} y [math]\vec{DB}. Tenemos que [math]\vec{CA} = (-a,-b) y [math]\vec{DB}=(10-x,-y).
Si hacemos producto escalar, nos da [math]\vec{CA}\cdot \vec{DB} = -a(10-x) +by = -(a(10-x)-by) = 0 por (4).
Pero [math]\vec{CA}\cdot \vec{DB} = ||\vec{CA}||\cdot ||\vec{DB}|| \cos{\alpha} = 0, y al ser el módulo de los vectores no-nulo, tenemos que [math]\cos(\alpha)=0 y así [math]\alpha=90^{\circ}. Y estamos.
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 09 Abr, 2012 7:33 pm
por Nacho
Iluminado por Matías, sale con el lema este que ya había aparecido acá:
http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?p=312#p312.
Voy a demostrarlo con el mismo método que antes:
- Spoiler: mostrar
- Fijo ejes cartesianos. [math]A=(0,0), [math]B=(L_1,0), [math]C=(a,b), [math]D=(x,y). Si [math]L_1,L_2,L_3,L_4 son las medidas de [math]AB, [math]BC, [math]CD y [math]DA respectivamente, tengo por las condiciones de módulo que:
[math](a-L_1)^2 + b^2 = L_2^2 \Rightarrow a^2+b^2 = L_2^2 - L_1^2 + 2aL_1 (1).
[math]x^2 + y^2 = L_ 4^2 (2)
[math](x-a)^2 + (y-b)^2 = L_3^2 \Rightarrow x^2 + y^2 +a^2+b^2 - 2ax-2by = L_3^2. (3)
Si reemplazamos (1) y (2) en (3), obtenemos que [math]{L_2^2 - L_1^2 +2L_1a + L_ 4^2 - 2ax - 2by = L_3^2 \Rightarrow 2L_1a -2ax-2by = (L_1^2 + L_3^2) - (L_2^2 + L_4^2)} (4).
Notemos que [math]AC \perp BD \Leftrightarrow \vec{AC}\cdot \vec{BD} = 0. Es decir, [math](a,b)\cdot (x-L_1, y) = a(x-L_1) + by =0.
Con todo esto, lo que queremos demostrar sale en dos patadas.
Si [math]L_1^2 + L_3^2 = L_2^2 + L_4^2, entonces se sigue de (4) que [math]2L_1a-2ax-2by = 2(a(L_1-x) - by) = 0. Pero por lo del producto escalar, se sigue que [math]AC\perp BD.
Si [math]AC\perp BD, se sigue que [math]2L_1a-2ax-2by = 0, y así se ve en (4) que [math](L_1^2 + L_3^2) - (L_2^2 + L_4^2).
Entonces [math]AC \perp BD \Leftrightarrow AB^2+CD^2=BC^2+AD^2
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 09 Abr, 2012 10:17 pm
por crimeeee
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- Sea [math]ABCD el cuadrilátero y sea [math]O la intersección de las diagonales [math]AC y [math]BD. Sea [math]AO=a, [math]BO=b, [math]CO=c y [math]DO=d; y sea [math]\angle AOB=\alpha=\angle COD y [math]\angle BOC=\beta=\angle DOA, con [math]\alpha + \beta = 180. Por el teorema del coseno:
[math]25=a^2+b^2-2abCos \alpha (1)
[math]121=b^2+c^2-2acCos \beta (2)
[math]196=c^2+d^2-2cdCos \alpha (3)
[math]100=a^2+d^2-2adCos \beta (4)
Como [math]100+121=25+196, entonces sumando (1) y (3) e igualando a la suma de (2) y (4). Cancelando términos iguales:
[math]abCos \alpha + cdCos \alpha = acCos \beta + adCos \beta. Supongamos que [math]\alpha < \beta. Como el coseno de 0 es 1, de 90 es 0 y de 180 es -1; entonces el coseno de un ángulo [math]x, con [math]0<x<90 es positivo, mientras que el coseno de un ángulo [math]y, con [math]90<y<180 es negativo. Si [math]\alpha < \beta, entonces [math]\alpha < 90 por lo que el miembro izquierdo de la última ecuación es positivo mientras que el derecho es negativo. Contradicción. Luego [math]\alpha=90=\beta
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Dom 15 Abr, 2012 1:02 am
por julianferres_
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Mié 18 Abr, 2012 2:31 pm
por Vladislao
Una prueba del lema del link con vectores.
- Spoiler: mostrar
- Consideremos una cuaterna de puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en un plano. Consideremos un sistema de ejes coordenados con origen en algún punto $O$ del plano. El vector $\vec{OP}$, por comodidad va a ser denotado como $\vec{P}$. El punto $\cdot$ va a denotar el producto escalar entre dos vectores, y $\left |\left |\vec{JK}\right |\right |$ va a denotar a la norma o módulo del vector $\vec{JK}$.
Primero, veamos que $AC\perp BD \iff \vec{AC}\perp \vec{BD}$, y esto ocurre si y sólamente si (por la definición de vectores perpendiculares) su producto escalar es 0, es decir: $\iff \vec{BD}\cdot \vec{AC}=0\iff \left (\vec{D}-\vec{B}\right )\cdot \left (\vec{C}-\vec{A}\right )=0$.
Podemos aplicar las propiedades del producto escalar para ver que esto pasa: $\iff \vec{D}\cdot \vec{C}-\vec{D}\cdot \vec{A}-\vec{B}\cdot \vec{C}+\vec{B}\cdot \vec{A}=0$.
Esto ocurre $\iff \vec{C}\cdot \vec{D}+\vec{B}\cdot \vec{A}=\vec{D}\cdot \vec{A}+\vec{B}\cdot \vec{C}$.
Esa igualdad será cierta $\iff -2\vec{C}\cdot \vec{D}-2\vec{B}\cdot \vec{A}=-2\vec{D}\cdot \vec{A}-2\vec{B}\cdot \vec{C}$.
La última igualdad se da si y sólo si al sumar $\vec{A}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}+\vec{C}\cdot\vec{C}+\vec{D}\cdot\vec{D}$ a ambos lados, las expresiones siguen siendo iguales.
Es decir, esa igualdad es cierta $\iff \left (\vec{C}-\vec{D}\right )^2+\left (\vec{B}-\vec{A}\right )^2=\left (\vec{D}-\vec{A}\right )^2+\left (\vec{C}-\vec{B}\right )^2$.
Pero esta última igualdad se cumple $\iff \left (\vec{DC}\right )^2+\left (\vec{AB}\right )^2=\left (\vec{AD}\right )^2+\left (\vec{BC}\right )^2$, y por definición de norma esto se da si y sólo si:
$\left |\left |\vec{CD}\right |\right |^2+\left |\left |\vec{AB}\right |\right |^2=\left |\left |\vec{AD}\right |\right |^2+\left |\left |\vec{BC}\right |\right |^2$
Es decir, en resumen: $AC\perp BD\iff CD^2+AB^2=AD^2+BC^2$.
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 12 Jun, 2017 1:45 am
por franco_bongiova
- Spoiler: mostrar
- Usando la conocida propiedad:
"Si y solo si, un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, entonces la suma de los cuadrados de los lados opuestos es la misma."
Si las diagonales se cortasen en un ángulo recto, entonces se debe cumplir lo siguiente:
[math]AB^2 + CD^2 = BC^2 + CD^2
Reemplazamos los valores:
[math]5^2 + 14^2 = 10^2 + 11^2
[math]25 + 196 = 100 + 121
[math]221 = 221
Como es un si y solo si, y se cumple una parte de la afirmación, se cumple la siguiente y el ángulo que sostienen las diagonales es de [math]90.
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Dom 22 Abr, 2018 9:48 pm
por franco_bongiova
Demostración "pitagórica" del lema $AB^2+CD^2=BC^2+DA^2$:
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- En un cuadrilátero $ABCD$ ordenados horariamente, sus diagonales se cortan perpendicularmente en $Z$. Sea $AZ = a$, $BZ = b$, $CZ = c$ y $DZ = d$.
Tenemos que:
$AB^2=a^2+b^2$
$BC^2=b^2+c^2$
$CD^2=c^2+d^2$
$DA^2=d^2+a^2$
Como queremos demostrar la ecuación de arriba, reemplazamos los cuatro valores. Nos queda:
$a^2+b^2+c^2+d^2=b^2+c^2+d^2+a^2$
Lo que es facil notar que es verdad ya que se cancela todo.
Para la recíproca se puede tomar la demostración de crimeeee generalizando los valores de los lados, solo sabiendo que es verdad la ecuación.
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Lun 23 Abr, 2018 12:37 pm
por Fran5
Habrá alguna demostración geométrica "interesante" que evite usar trigonometría ó geometría analítica/números complejos?
Re: Problema 4 Primer Pretorneo 2012 Nivel Mayor
Publicado: Mar 24 Abr, 2018 2:06 pm
por ricarlos
Fran5 escribió: ↑Lun 23 Abr, 2018 12:37 pm
Habrá alguna demostración geométrica "interesante" que evite usar trigonometría ó geometría analítica/números complejos?
no se si es interesante si creo que es geometria "pura"
- Spoiler: mostrar
- Podemos trazar dos circunferencias con centro en $D$ y radio $AD$ y con centro en $B$ y radio $AB$. A la primera la denominamos $(D)$ y a la otra $(B)$, entonces $CD$ corta a $(D)$ en $X$ (mas cerca de C) e $Y$ por otro lado $CB$ corta a $(B)$ en $V$ (mas cerca de C) y en $W$.
$AC$ vuelve a cortar a $(D)$ en $P$ y
$AC$ vuelve a cortar a $(B)$ en $Q$.
La idea es probar que $P=Q$ pues esto solo se logra si $AC$ es eje radical de ambas circunferencias y entonces AC y BD serian perpendiculares.
Datos.
$CX=11-5=6$
$CY=11+5=16$
$CV=14-10=4$
$CW=14+10=24$
Por pot. de $C$ resp. $(D)$ es $CX(CY)=CP(CA)$ de donde $CP=6(16)/CA=96/CA$
Por pot. de $C$ resp. $(B)$ es $CV(CW)=CQ(CA)$ de donde $CQ=4(24)/CA=96/CA$
Entonces $P=Q$ porque $CP=CQ$.