Se marcan en el plano $2022$ puntos azules, $A_1,A_2,\ldots ,A_{2022}$, y luego se marcan con rojo todos los puntos medios de los segmentos que tienen sus dos extremos azules. Determinar cuál es la menor cantidad posible de puntos rojos.
Supongamos que tenemos los puntos $p_1, p_2, ..., p_{2022}$ que cumplen que la cantidad de puntos medios es mínima. Sea $\ell$ una recta en el plano que está "más abajo que todos los puntos", que claramente existe porque la cantidad de puntos es finita. Sean $y_1, y_2, ..., y_{2022}$ los pies de las perpendiculares a $\ell$ trazadas por $p_1, p_2, ..., p_{2022}$ respectivamente, tomemos $\ell$ además tal que los puntos $y_i$ sean todos distintos (lo que implica que no hay dos puntos con el mismo pie de perpendicular a $\ell$), dicha recta claramente existe porque la cantidad de rectas que cumplen que hay dos pies de perpendiculares que coinciden es finita, y la cantidad de rectas posibles es infinita.
Ahora bien, sean $m_1, m_2, ..., m_k$ los puntos medios de todos los segmentos (puede haber algún punto que sea punto medio de varios segmentos), y sean $m'_1, m'_2, ..., m'_k$ los pies de las perpendiculares a $\ell$ por dichos puntos. Notemos que por Thales, si $m_j$ es punto medio de $p_ap_b$ y de $p_cp_d$ entonces $m'_j$ es punto medio de $q_aq_b$ y de $q_cq_d$, luego la cantidad de puntos medios no aumenta, por lo que podemos asumir que si hay un ejemplo con $n$ puntos medios y es óptima, entonces hay una solución con $n$ puntos medios tal que además todos los puntos se encuentren sobre la misma recta.
P5 Sel Cono 2022.jpg
Ahora entonces tenemos que resolver el mismo problema del enunciado, pero con el dato extra de que los puntos van a estar todos sobre una misma recta. Sean $p_1, ..., p_{2022}$ los puntos de izquierda a derecha. Sea $C$ la cantidad mínima necesaria de puntos rojos. Primero consideremos los $2021$ segmentos $p_1p_2, p_2p_3, ..., p_{2021}p_{2022}$, claramente es inevitable marcar los puntos medios de ellos, por lo que $C \geq 2021$.
Por otro lado, consideremos los $2020$ segmentos $p_1p_3, p_2p_4, ..., p_{2020}p_{2022}$, notamos que el punto medio de $p_1p_3$ no es el punto medio de $p_1p_2$ ni el punto medio de $p_2p_3$, por lo que es otro punto rojo nuevo a marcar. Entonces $C \geq 2021+2020=4041$. Ahora bien, tomando $p_1p_2=p_2p_3=...=p_{2020}p_{2021}=p_{2021}p_{2022}$ notamos que el punto medio de $p_ip_{i+2k-1}$ es $p_{i+k}$ y el punto medio de $p_ip_{i+2k}$ es el punto medio de $p_{i+k}p_{i+k+1}$, por lo que encontramos un ejemplo donde $C=4041$ así que estamos $\blacksquare$
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