FOFO de Pascua - Problema 7

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 1925
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

FOFO de Pascua - Problema 7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sea $\omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es el punto medio del arco $BAC$ e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ corta a $BC$ en $E$ y a $\omega$ por segunda vez en $F$. Sea $P$ en $AF$ tal que $EP$ es paralela a $AI$. Demostrar que $PE$ es bisectriz de $B\widehat{P}C$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
Mensajes: 1925
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 14
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: FOFO de Pascua - Problema 7

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Primera Solución Oficial:
Spoiler: mostrar
FOFO Pascua 2022 P7 - Primera Solución Oficial.png
Sea $M$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\omega$ y sea $X$ el punto de intersección de $PE$ con $DM$. Tenemos entonces que$$\angle FPX=\angle FPE=\angle FAM=\angle FDM=\angle FDX$$de modo que $FPDX$ es cíclico. Por potencia de un punto tenemos entonces que$$EP\cdot EX=EF\cdot ED=EB\cdot EC$$de modo que $BPCX$ es cíclico. Como $D$ y $M$ son los puntos medios de los arcos $BAC$ y $BC$ de $\omega$, entonces $DM$ es mediatriz de $BC$, luego, $X$ es el punto medio del arco $BC$ de $(BPCX)$, de modo que $PX$ es bisectriz de $\angle BPC$, es decir que $PE$ es bisectriz de $\angle BPC$, como queríamos.
Segunda Solución Oficial:
Spoiler: mostrar
FOFO Pascua 2022 P7 - Segunda Solución Oficial.png
Sea $G$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\omega$ y sea $J$ el segundo punto de intersección de $GE$ con $\omega$. Tenemos entonces que$$\angle FJE=\angle FJG=\angle FAG=\angle FPE$$de modo que $FJPE$ es cíclico. Como $D$ es punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $F$, entonces $FE$ es bisectriz de $\angle BFC$; como $G$ es el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $J$, entonces $JE$ es bisectriz de $\angle BJC$. Luego, $F,E,J$ están sobre la Circunferencia de Apolonio de $E$ respecto a $B$ y $C$, de modo que dicha circunferencia es $(FJPE)$, luego, $PE$ es bisectriz de $\angle BPC$, como queríamos.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850
Responder