Sea [math]ABC un triángulo isósceles, con [math]AC=BC. Se construye el triángulo equilátero [math]BCD, exterior al triángulo [math]ABC.
Si [math]\angle{CAD}=40^{\circ}, calcular los ángulos del cuadrilátero [math]ABDC.
sea [math]M la interseccion de [math]AD con [math]BC y sea [math]MAB=a. Como el triangulo ABC es isosceles, [math]AC=BC=40+a. Del triangulo [math]MAB sabemos todos los angulos menos el [math]AMB, restando los angulos a [math]180=> [math]AMB=140-2a y tambien [math]CMD=140-2a por opuesto por el vertice a [math]AMB
Como el lado del triangulo equilatero es [math]BC=> [math]AC=BD=> [math]CAD=CDA=40. Si nos fijamos en el triangulo [math]CMD, sabemos que [math]CDM=40 y [math]CMD=140-2a por lo tanto [math]MCD=2a y como [math]MCD es uno de los angulos del triangulo equilatero [math]a=30
Entonces:
[math]A=40+a=70 [math]B=40+a+60=130 [math]D=60 (ya que es un angulo del triangulo equilatero) [math]C=360-70-130-60=100
Realizando el dibujo se observa que por construcción, el triángulo ABC es isósceles, entonces los ángulos BAC y CAB son congruentes e igual a la mitad entre la resta de 180º menos el ángulo BCA. (1)
El triángulo BCD es equilátero, por construcción, por lo tanto sus ángulos (BCD, CDB y DBC) miden 60º.
El triángulo ACD queda isósceles y si ACD = 40º resulta que CDA = 40º, por lo tanto, DCA = 100º.
Si el ángulo ACD = 100º y el ángulo BCD = 60º resulta que el ángulo ACB = 40º.
En el triángulo ABC (1) resulta que los ángulos son de 70º.
Por lo tanto, los ángulos del cuadrilátero ABCD miden: A=70º, B=130º, C=60º y D=100º.
Como el triángulo BCD es equilátero, entonces el ángulo BDC=60º. El triángulo CAD es isósceles, con los ángulo CAD=CDA=40º, por lo tanto, ACD=180-40*2=100º. Como DCB=60º, y ACD=DCB+BCA=100º, BCA=40º, entonces CAB=CBA=(180-40)/2=70º, y por descarte, ABD=130º
Por $\triangle ABC$ possuir $AC=BC$, então $\widehat{A}=\widehat{B}$.
Por $\triangle BCD$ ser equilátero, seus ângulos medem $60^{\circ}$. $\boxed{\widehat{D}=60^{\circ}}$.
Se $BC=BD=CD$ e $AC=BC$, resulta que $ACD$ é isósceles. $\angle CAD=\angle CDA=40^{\circ} \Leftrightarrow $ Pela SAI de um triângulo, $\boxed{\widehat{C}=180-40-40=100^{\circ}}$. Consequentemente, $\angle C=100-60=40^{\circ}$. Assim, $\angle A=\angle B=\frac{180-40}{2}=70^{\circ}$. Finalmente, $\widehat{B}=70+60=130^{\circ}$. $\bigstar$
Os ângulos são $70^{\circ},130^{\circ},100^{\circ}$ e $60^{\circ}$.
Caso eu errar alguma demonstração, lembre-se: não era eu escrevendo!
