Problema 3. Regional 2007 N2

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AgustinChenna.
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Problema 3. Regional 2007 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. » Jue 26 Jul, 2012 12:09 am

Se tiene un rectángulo [math] de lados [math] y [math]. Se traza la circunferencia de centro [math] que pasa por [math]. La recta [math] corta a la circunferencia en [math] y [math].

Calcular la longitud del segmento [math].

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AgustinChenna.
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Re: Problema 3. Regional 2007 N2

Mensaje sin leer por AgustinChenna. » Jue 26 Jul, 2012 12:10 am

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Sea [math] la altura del triángulo [math] trazada desde [math] y [math] su intersección con [math], tenemos que [math] de donde obtenemos que la [math]. Luego, sea [math] la intersección de la recta [math] con la circunferencia, y sea [math] la intersección de la recta [math] con la circunferencia. Se forma el cuadrilátero cíclico [math] que ademas tiene diagonales que se cortan en su punto medio (ya que [math] es radio y [math] es diametro), por lo que tenemos dos triángulos rectángulos [math] y [math]. Por base media, [math]. Además, el radio de la circunferencia es [math] => [math]. Por Pitágoras en el triángulo [math] tenemos: [math] , de donde [math] .

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1000i Elizalde
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Re: Problema 3. Regional 2007 N2

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Vie 30 Nov, 2018 3:35 pm

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Como el triángulo $ABC$ es rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras para sacar la hipotenusa $AC$ que es la diagonal del rectángulo $ABCD$ y el radio de la circunferencia: $AB^2+ BC^2=AC^2=65^2+156^2=28561$, pero entonces $AC= \sqrt{28561}=169$. Sea $AP$ la altura del triángulo $ABD$ correspondiente al lado $BD$, calculamos el área del triángulo $ABD$ como $\frac{AB \times AD }{2}=5070$ que es lo mismo que $\frac{BD \times AP }{2}$, pero como conocemos el lado $BD$ podemos despejar $AP$ que nos da $60$. Trazamos el diámetro de la circunferencia de centro $A$ que pasa por $F$ y al otro punto de intersección con la circunferencia lo llamamos $Q$. Es conocido que cuando tomamos el diámetro de una circunferencia y lo unimos con cualquier punto de la misma, el ángulo formado siempre va a ser $90º$, por lo que el triángulo $EFQ$ es rectángulo en $E$. Como $AP$ es altura de $ABD$ es perpendicular a $EF$ pero además comparten el ángulo $F$, por ende los triángulos $AFP$ y $EFQ$ tienen los mismos ángulos por lo que son semejantes y como $AF$ es radio y $FQ$ es diámetro la razón de semejanza es $2$ y entonces $QE=2AP=120$ y $FQ=2FA=338$. Ahora hacemos Pitágoras en el triángulo $EFQ$: $FQ^2=EQ^2+EF^2$ que es igual a $338^2=120^2+EF^2$ por lo que $EF^2=114244-14400= 99844$, y queda $EF=\sqrt{99844}$.
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