Hay que ver cómo "definís dificultad". El problema es un dolor de huevos por los casitos, en cambio, por ejemplo, el 2 o el 5 del año pasado salían re directos...
Supongamos que [math]x=2k. Tenemos entonces que [math]2(k+y+z)=2kyz de donde [math]k+y+z=kyz. Sin perdida de generalidad podemos asumir que [math]k\leq y \leq z. Es claro que [math]k+y+z\leq 3z, y tambien que [math]kyz\leq z^3. Pero sabemos que [math]k+y+z=kyz. Tenemos entonces que [math]kyz\leq 3z, dividiendo por [math]z nos queda [math]ky\leq 3. Analizamos los casitos: [math]k=1, y=1 nos queda [math]1+1+z=z, descartado [math]k=1, y=2 nos queda [math]1+2+z=2z y tenemos [math]z=3, sirve, entonces la terna [math](2,2,3) sirve, y su simétrico, [math](2,3,2) también. [math]k=1, y=3 nos queda [math]1+3+z=3z y tenemos [math]z=2, sirve, entonces la terna [math]2,3,2) sirve, es el simétrico del caso de arriba. [math]k=2, y=1 nos queda [math]2+1+z=2z y tenemos [math]z=3, sirve, entonces la terna [math](4,1,3) sirve, y su simétrico, [math](4,3,1) también. [math]k=3, y=1 nos queda [math]3+1+z=2z y tenemos [math]z=2, sirve, entonces la terna [math](6,1,2) sirve, y su simétrico, [math](6,2,1) también.
Cualquier otra terna incumple lo pedido. Vemos que plantear [math]k+y+z\leq z^3 no descarta ninguna terna, porque [math]k+y\leq z(z+1)(z-1) se cumple para todo terna en la que [math]z no valga [math]1.
Ahora supongamos que [math]x=2k+1. Tenemos entonces que [math]k+y+z=kyz+\frac{yz-1}{2}. Tomemos el caso [math]y=z=1 nos queda entonces [math]1+1+k=k absurdo, de donde alguno de los dos es mayor que [math]1. Tenemos entonces [math]kyz+\frac{yz-1}{2}>kyz. Tenemos además, de nuevo, sin pérdida de generalidad y asumiendo que [math]k\leq y \leq z, que [math]kyz<k+y+z\leq 3z de donde [math]ky<3.
Vemos los casitos: [math]k=1, y=1 nos queda [math]2+1+2+2z=(2+1)z y nos queda [math]z=5, entonces la terna [math](3,1,5) sirve, y su simétrico, [math](3,5,1) también. [math]k=1, y=2 nos queda [math]2+1+4+2z=(2+1)2z y nos queda [math]z=\frac{7}{4} no sirve. [math]k=2, y=1 nos queda [math]4+1+2+2z=(4+1)z y nos queda [math]z=\frac{7}{3} no sirve.
Ahora si [math]k=0 hay infinitos valores de [math]y que cumplen la desigualdad. Así que lo que hacemos es remplazar [math]x=1.
Tenemos lo siguiente [math]2y+2z+1=yz
Empezamos a "probar". Es claro que ni [math]y ni [math]z pueden valer [math]1 ni [math]2. Si alguno vale [math]3 el otro vale [math]7 por ende las ternas [math](1,3,7) y [math](1,7,3) valen. Ahora supongamos que valen [math]4,5,6 ninguno sirve ya que el otro toma un valor racional. Si alguno toma [math]7 el otro toma [math]3, y ahora vamos a ver que a medida que uno excede el [math]7 el otro se acerca cada vez más a [math]2. Pero dejando uno fijo mientras el otro recorre todos los naturales tenemos que uno va a ser de la forma [math]\frac{2a+5}{a} que se puede acercar a [math]2 todo lo que queramos, pero nunca lo va a alcanzar, por lo tanto para valores de [math]z o [math]y mayores a [math]7 no hay soluciones.
Y ya no tenemos más casos que revisar. Son [math]10 ternas.
Tenemos entonces que [math]yz>3 \wedge xy>6 \wedge xz>6
Multiplicando la primera por [math]x, la segunda por [math]z y la tercera por [math]y nos queda [math]yxz>3x \wedge xyz>6z \wedge xyz>6z
Sumandolas nos queda [math]3xyz>3x+6y+6z absurdo.
Ahora bien supongamos que [math]yz\leq 3 de acá se desprenden las ternas [math](4,3,1) y [math](4,1,3)
Ahora supongamos que [math]xy\leq 6 de acá se desprenden las ternas [math](1,3,7), [math](1,7,3), [math](3,1,5), [math](3,5,1), [math](2,3,2), [math](2,2,3), [math](2,2,1) y [math](2,1,2) (haciendo casitos y viendo las posibles combinacionaciones de los valores de [math]x e [math]y) y ya estamos.
Pongo la primer parte de mi resolución:
$x+2y+2z=xyz$
$xyz-2y=x+2z$
$y(xz-2)=x+2z$
$y=\frac {x+2z}{xz-2}$
Como $y\geq 1$ entonces
$x+2z\geq xz-2$
$xz-x\leq 2z+2$
$x(z-1)\leq 2z+2$
$x\leq \frac {2z+2}{z-1}$ (el pasaje de términos se puede hacer sin modificar la desigualdad porque $z-1$ no puede ser menor que cero (supongamos que sí, entonces $z-1<0\Rightarrow z<1$ pero $z\in \mathbb N$ por enunciado, por lo que no puede ser menor que 1.
$x\leq 2+\frac {4}{z-1}$
Ésta función racional es la que aparece en el gráfico adjunto. Es claro que el mayor valor de la función se dará cuando $z=2$, que es el número natural más próximo a la asíntota vertical $z=1$.
Entonces:
$x\leq 2+\frac {4}{2-1}=6$
$x\leq 6$
Ahora, solo resolvemos la ecuación para los casos $x=\{1;2;3;4;5;6\}$ que es muy fácil y así obtenemos todas las ternas posibles.
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crimeeee escribió: ↑Mar 25 Oct, 2011 3:47 pm
ok, una pregunta: ¿en qué grado de dificultad pondrían a este problema (de 1 a 10) considerando que es de un nacional? es decir no lo comparen con uno de IMO, simplemente para el nivel esperado en un nacional de 2° nivel.
