Hallar todos los enteros..(Nacional 2000 N2 P3)

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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pornprimes
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Re: Nacional OMA 2000 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por pornprimes » Dom 30 Oct, 2011 2:28 am

Hay que ver cómo "definís dificultad". El problema es un dolor de huevos por los casitos, en cambio, por ejemplo, el 2 o el 5 del año pasado salían re directos...

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Turko Arias

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Re: Hallar todos los enteros..(Nacional 2000 N2 P3)

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 16 Sep, 2013 1:56 am

Spoiler: mostrar
Supongamos que [math]. Tenemos entonces que [math] de donde [math]. Sin perdida de generalidad podemos asumir que [math]. Es claro que [math], y tambien que [math]. Pero sabemos que [math]. Tenemos entonces que [math], dividiendo por [math] nos queda [math]. Analizamos los casitos:
[math] nos queda [math], descartado
[math] nos queda [math] y tenemos [math], sirve, entonces la terna [math] sirve, y su simétrico, [math] también.
[math] nos queda [math] y tenemos [math], sirve, entonces la terna [math] sirve, es el simétrico del caso de arriba.
[math] nos queda [math] y tenemos [math], sirve, entonces la terna [math] sirve, y su simétrico, [math] también.
[math] nos queda [math] y tenemos [math], sirve, entonces la terna [math] sirve, y su simétrico, [math] también.
Cualquier otra terna incumple lo pedido. Vemos que plantear [math] no descarta ninguna terna, porque [math] se cumple para todo terna en la que [math] no valga [math].

Ahora supongamos que [math]. Tenemos entonces que [math]. Tomemos el caso [math] nos queda entonces [math] absurdo, de donde alguno de los dos es mayor que [math]. Tenemos entonces [math]. Tenemos además, de nuevo, sin pérdida de generalidad y asumiendo que [math], que [math] de donde [math].
Vemos los casitos:
[math] nos queda [math] y nos queda [math], entonces la terna [math] sirve, y su simétrico, [math] también.
[math] nos queda [math] y nos queda [math] no sirve.
[math] nos queda [math] y nos queda [math] no sirve.

Ahora si [math] hay infinitos valores de [math] que cumplen la desigualdad. Así que lo que hacemos es remplazar [math].
Tenemos lo siguiente [math]
Empezamos a "probar". Es claro que ni [math] ni [math] pueden valer [math] ni [math]. Si alguno vale [math] el otro vale [math] por ende las ternas [math] y [math] valen. Ahora supongamos que valen [math] ninguno sirve ya que el otro toma un valor racional. Si alguno toma [math] el otro toma [math], y ahora vamos a ver que a medida que uno excede el [math] el otro se acerca cada vez más a [math]. Pero dejando uno fijo mientras el otro recorre todos los naturales tenemos que uno va a ser de la forma [math] que se puede acercar a [math] todo lo que queramos, pero nunca lo va a alcanzar, por lo tanto para valores de [math] o [math] mayores a [math] no hay soluciones.
Y ya no tenemos más casos que revisar. Son [math] ternas.
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Fran5

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Re: Hallar todos los enteros..(Nacional 2000 N2 P3)

Mensaje sin leer por Fran5 » Mié 25 Sep, 2013 5:08 pm

Me gusto mucho este problema :D
Spoiler: mostrar
Omito la parte [math], ni gana de pasarla :)

Tenemos inicialmente

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Todo esto puesto que [math] son enteros positivos

Y de ahi salen las otras dos ternas que son [math] y [math]
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Turko Arias

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Re: Hallar todos los enteros..(Nacional 2000 N2 P3)

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 24 Dic, 2013 8:28 pm

Completemos la otra solución que anda dando vueltas que me copó:
Spoiler: mostrar
Tomamos [math]

Multiplicamos por [math] y obtenemos:

[math]

Vamos a demostrar por el absurdo que:

[math]

Supongamos que [math]

Tenemos entonces que [math]
Multiplicando la primera por [math], la segunda por [math] y la tercera por [math] nos queda [math]
Sumandolas nos queda [math] absurdo.

Ahora bien supongamos que [math] de acá se desprenden las ternas [math] y [math]

Ahora supongamos que [math] de acá se desprenden las ternas [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math] y [math] (haciendo casitos y viendo las posibles combinacionaciones de los valores de [math] e [math]) y ya estamos.
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3,14

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Re: Hallar todos los enteros..(Nacional 2000 N2 P3)

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 06 Sep, 2014 11:01 pm

Spoiler: mostrar
Pongo la primer parte de mi resolución:
$x+2y+2z=xyz$
$xyz-2y=x+2z$
$y(xz-2)=x+2z$
$y=\frac {x+2z}{xz-2}$
Como $y\geq 1$ entonces
$x+2z\geq xz-2$
$xz-x\leq 2z+2$
$x(z-1)\leq 2z+2$
$x\leq \frac {2z+2}{z-1}$ (el pasaje de términos se puede hacer sin modificar la desigualdad porque $z-1$ no puede ser menor que cero (supongamos que sí, entonces $z-1<0\Rightarrow z<1$ pero $z\in \mathbb N$ por enunciado, por lo que no puede ser menor que 1.
$x\leq 2+\frac {4}{z-1}$
Ésta función racional es la que aparece en el gráfico adjunto. Es claro que el mayor valor de la función se dará cuando $z=2$, que es el número natural más próximo a la asíntota vertical $z=1$.
Entonces:
$x\leq 2+\frac {4}{2-1}=6$
$x\leq 6$
Ahora, solo resolvemos la ecuación para los casos $x=\{1;2;3;4;5;6\}$ que es muy fácil y así obtenemos todas las ternas posibles.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Peznerd
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Re: Nacional OMA 2000 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 03 Nov, 2019 6:02 pm

crimeeee escribió:
Mar 25 Oct, 2011 3:47 pm
ok, una pregunta: ¿en qué grado de dificultad pondrían a este problema (de 1 a 10) considerando que es de un nacional? es decir no lo comparen con uno de IMO, simplemente para el nivel esperado en un nacional de 2° nivel.
Yo le pondría 4/10
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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