47° IMO (2006) - Problema 4

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Caro - V3

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47° IMO (2006) - Problema 4

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Jue 23 Dic, 2010 12:17 pm

Determine todas las parejas de enteros [math] tales que
[math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: 47° IMO (2006) - Problema 4

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 23 Dic, 2010 3:08 pm

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Es claro que el miembro derecho de la igualdad es positivo, para todo y. Además, si [math] es solución, [math] también lo será.

Luego, consideramos 3 casos, según [math], [math], ó [math].

i) Si [math].

En este caso, tenemos que:

[math]

Luego,

[math]

Absurdo, porque y es un entero.

ii) [math]

[math], de donde [math] ó [math].

iii) [math]

[math]

[math]

Es claro que en el miembro derecho, tanto [math] como [math] son pares, y además, uno de los dos es múltiplo de 4. Por ende, ya tenemos que [math].

Por otro lado, es evidente que uno de los factores del lado derecho es divisible por [math] pero no por [math], porque la mayor potencia de 2 que divide a [math] es [math], y tenemos que uno es divisible por 4 y el otro por 2 (y no por 4) lo que implica que el término divisible por 4, es, a la vez, divisible por [math].

Dos casos:

a) [math] con n impar.

Luego:

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

El lado izquierdo es menor o igual que 0 (pues n era un impar positivo). De esto se sigue que el lado derecho es menor o igual que 0, y como x era mayor o igual que 3, es claro que el término nulo (o negativo) [math]

Luego: [math], y como n era un entero impar positivo, tenemos que [math]. Pero entonces, [math], absurdo.

b) [math] con n impar.

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Luego, como [math], es claro que

[math]

Luego:

[math].

Esta desigualdad se cumple para todo n natural menor o igual que 3. Luego [math].

Probamos con [math] y [math].

Si [math], tenemos que:

[math]

[math]. Absurdo.

Para [math]

[math]

[math]

De donde [math].

Reemplazándolo en la ecuación original, podemos ver que [math].

Por lo tanto las únicas duplas [math] que satisfacen el problema son: [math] y [math].
Última edición por Ferroni.VR el Jue 23 Dic, 2010 3:53 pm, editado 2 veces en total.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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amcandio

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Re: 47° IMO (2006) - Problema 4

Mensaje sin leer por amcandio » Jue 23 Dic, 2010 3:25 pm

Ponele spoiler por q casi me lo quemo xD
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"

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Sandy

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Re: 47° IMO (2006) - Problema 4

Mensaje sin leer por Sandy » Mié 13 May, 2020 2:54 am

Spoiler: mostrar
Veamos qué pasa cuando $x<0$. Sea $z=-x=|x|$.
$1+\frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=y^2\Longrightarrow \frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=\frac{2^{z}+2}{2^{2z}}\in \mathbb{Z}^+$ pero $v_2(2^z+2)=1$ para $z>1$, absurdo. Para $z=1$, $1+\frac{1}{2^z}+\frac{2}{2^{2z}}=2$, absurdo pues no es cuadrado perfecto.
Luego $x\geq 0$
Tomaremos $y>0$, sabiendo después que si $(x,y)$ cumple, también lo hace $(x,-y)$.
La expresión original es equivalente a $2^x+2^{2x+1}=y^2-1$ que se factoriza como $2^x(1+2^{x+1})=(y+1)(y-1)$ (1)
Dividimos en dos casos:
  • $x=0$
Acá $y=2$, luego $(0,\pm 2)$ cumple.
  • $x>0$
Acá $y+1\equiv y-1\equiv 0(2)$. Como $mcd(y-1, y+1)=2$, tenemos que $\left(v_2(y-1),v_2(y+1)\right)$ es una permutación de $(1, x-1)$.
Notemos que $2^{2x}>2^x\Longrightarrow 2^{2x}+2^{2x}+2^x+1>2^x+2^{2x}+2^x+1\Longrightarrow y^2>(2^x+1)^2\Longrightarrow y-1>2^x$. Por (1), $y+1<1+2^{x+1}$.
Juntando ambas nos queda que $2^x+1<y<2^{x+1}$, que es equivalente a las siguientes dos desigualdades:
$2^x<y-1<2^{x+1}-1\Longrightarrow 2\times 2^{x-1}=2^x<y-1<2^{x+1}-1<4\times 2^{x-1}$ (2)
$2^x+2<y+1<2^{x+1}+1\Longrightarrow 2\times 2^{x-1}<2^x+2<y+1<2^{x+1}+1=4\times 2^{x-1}+1<5\times 2^{x-1}$ (3)

Dividamos de nuevo en dos subcasos:
  • $\left(v_2(y-1),v_2(y+1)\right)=(1, x-1)$
Por (3), $y+1=3\times 2^{x-1}$, luego por (1), $y-1=2\frac{2^{x+1}+1}{3}$.
Luego $2\frac{2^{x+1}+1}{3}+2=3\times 2^{x-1}\Longrightarrow 2^{x+2}+2+6=9\times 2^{x-1}\Longrightarrow 8=2^{x-1}\Longrightarrow x=4$.
$2^4+2^9+1=529=23^2$, luego $(x,y)=(4,\pm 23)$ cumple.
  • $\left(v_2(y-1),v_2(y+1)\right)=(x-1, 1)$
Por (2), $y-1=3\times 2^{x-1}$, luego por (1), $y+1=2\frac{2^{x+1}+1}{3}$.
Luego $2\frac{2^{x+1}+1}{3}-2=3\times 2^{x-1}\Longrightarrow 2^{x+2}+2-6=9\times 2^{x-1}\Longrightarrow -4=2^{x-1}$, lo cual es absurdo.

Luego concluimos que los únicos pares $(x,y)$ que cumplen son $(0,\pm2)$ y $(4,\pm23)$
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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