Nacional 2001 N2 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Nacional 2001 N2 P4

Mensaje sin leer por ktc123 » Lun 24 Sep, 2012 3:20 pm

Lucas eligió un número natural n de dos dígitos, calculó [math] y luego sumó los dígitos del número calculado. La suma que obtuvo es un múltiplo de [math]. Determinar todos los posibles valores del número n de dos dígitos que eligió Lucas.
Última edición por ktc123 el Lun 24 Sep, 2012 3:36 pm, editado 2 veces en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

bruno
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Re: Nacional 2001 Nivel 2 - Problema 4 - Ayudaa

Mensaje sin leer por bruno » Lun 24 Sep, 2012 7:00 pm

Solucion
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Sea [math], dividimos el problema en [math] casos.

1) [math] de modo que [math].

Resolviendo la cuenta queda: [math]. Por lo tanto la suma de las cifras es [math].

Por congruencia, si [math], entonces [math]. Como [math] y [math] son coprimos sale que [math]. Por lo tanto [math] => [math] es la unica respuesta.

2) [math] de modo que [math].

Resolviendo la cuenta queda: [math]. Por lo tanto la suma de las cifras es: [math].

Por congruencia, si [math] entonces [math]. Ahora [math] y como [math] es multiplo de [math] entonces [math] tiene la cifra de las unidades igual a [math]. Sigue que [math] tiene cifra de las unidades igual a [math] y eso solo se consigue si la cifra de las unidades de [math] es [math]. Por lo tanto los posibles valores de [math] son [math] y [math]. Para el unico que se consigue un multiplo de [math] es [math] => [math].

Por lo tanto,
[math]

[math]. Sigue que los valores de [math] que son soluciones son los impares mayores o iguales que [math].

Entonces, los valores [math] que verifican lo pedido son: [math] y [math]

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Turko Arias

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Re: Nacional 2001 Nivel 2 - Problema 4 - Ayudaa

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 24 Sep, 2012 7:18 pm

Algo que quizas ayude:
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copiar bien el enunciado
1  

juan F
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Re: Nacional 2001 N2 P4

Mensaje sin leer por juan F » Dom 22 Sep, 2013 9:46 pm

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Como el número [math] tiene dos dígitos, [math] va a tener n cifras, de las cuales [math] son 9, porque si tuviese [math] nueves de izquierda a derecha n debería ser 10 y no cumple el enunciado. [math], siendo [math] la suma de las cifras de [math]. Esta suma de las cifras, es un número entre 2 y 18 inclusive.
Entonces buscamos números de la forma [math] de 2 cifras, cuya diferencia con un múltiplo de [math] sea menor o igual a 18. Los número que cumplen la condición son: [math], de los cuales solo el [math] y [math] cumplen el enunciado.
Resumiendo los número son:[math] y [math]

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3,14

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Re: Nacional 2001 N2 P4

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 22 Sep, 2013 11:27 pm

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Si [math] y [math] entonces
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Probando con todos los [math] solo [math] funciona y queda que [math]
[math]

Si [math] entonces:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Después termino la solución
Última edición por 3,14 el Lun 23 Sep, 2013 3:00 pm, editado 1 vez en total.
[math]

Peznerd
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Re: Nacional 2001 N2 P4

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 05 Nov, 2019 3:16 pm

3,14 escribió:
Dom 22 Sep, 2013 11:27 pm
Spoiler: mostrar
Si $n=10a+b$ y $b=0$ entonces
$9(n-2)+10-a=170k$
$9(10a+b-2)+10-a=170k$
$90a+9b-18+10-a=170k$
$89a+9b-8=170k$
$b=0$
$89a-8=170k$
$170k=89a-8\leq 89.9-8$
$k\leq 4$
Probando con todos los $k\in \{1;2;3;4\}$ solo $k=1$ funciona y queda que $a=2$
$n=20$

Si $b>0$ entonces:
$9(n-2)+(9-a)+(10-b)=170k$
$9(10a+b-2)+9-a+10-b=170k$
$90a+9b-18+19-a-b=170k$
$89a+8b=170k-1$
$170k-1=89a+8b\leq 89.9+8.9=873$
$170k-1\leq 873$
$k\leq 5$
$k\in \{1;2;3;4;5\}$
Después termino la solución
"Después termino la solución"
Mil años más tahjde
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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