Nacional 2007- P1 N3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
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Nacional 2007- P1 N3

Mensaje sin leer por bruno » Mar 25 Sep, 2012 2:20 am

Hallar todos los números primos [math] y [math] tales que [math].
Aclaración: [math] no es un número primo.

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Prillo

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Re: Nacional 2007- P1 N3

Mensaje sin leer por Prillo » Mar 25 Sep, 2012 11:24 am

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La condición se puede reescribir como [math]. Es inmediato notar que [math], y [math] debe dividir a [math]. Sea [math]. La relación se convierte en [math], ó equivalentemente, [math]. Como el lado izquierdo es positivo, luego el lado derecho también y resulta que [math]. Por otra parte, podemos acotar [math], de donde [math], ó equivalentemente [math]. Luego [math], y así obtuvimos que [math]. Por lo tanto [math]. Despejando la igualdad [math] obtenemos que [math], y a continuación [math]. Luego [math] es la única solución.

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3,14

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Re: Nacional 2007- P1 N3

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 27 Dic, 2014 2:58 pm

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En primer lugar, si probamos con [math] o [math] iguales a [math], no se llega a ninguna solución. De este modo sabemos que los dos son impares.
Observemos ahora que:
[math]
Como [math] y [math] son impares, entonces es cierto que: [math]
Entonces:
[math]
[math]
[math]
Por otro lado, podemos reescribir la ecuación del enunciado como:
[math]
[math]
Como [math] entonces [math]
Veamos además que [math], ya que si ocurriera lo contrario, entonces o bien [math] o [math], pero habíamos dicho que [math], y que [math] no es divisible por [math], lo que lleva a un absurdo, porque un lado de la ecuación es divisible por dos y el otro no.
Entonces [math] puede valer solo los divisores de [math] múltiplos de [math], que son:
[math]
Por otro lado, la ecuación del enunciado se puede reescribir como:
[math]
De lo que sale que, como [math] y [math] son copriimos, que [math]
Entonces ahora hay tres casos:
A)[math]
[math]
[math]
[math]
No hay solución.
B)[math]
[math]
[math]
[math]
Pero no hay solución.
C)[math]
[math]
Hay dos opciones: [math] o [math]
De las cuales solo la primera da solución que es [math].
Entonces la única solución es:
[math]
[math]

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AgusBarreto

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Re: Nacional 2007- P1 N3

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Dom 28 Dic, 2014 7:03 pm

Tengo una solución un poco distinta, aunque creo que doy algunas vueltas de más, igual la subo
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Apenas empezamos reescribimos la ecuación como [math] [math] [math] [math] [math]. Acá es trivial ver que [math] y que [math]. Luego el único de los [math] que podría tomar valor [math] es [math], pero al probar vemos que no nos da una solución que cumpla, por lo tanto [math]. En la ecuación que reescribimos podemos ver también que [math], y como sabemos que [math] y que [math] y [math] son coprimos, tenemos que [math] (no lo aclaré, pero es muy básico ver que [math] y que [math]).
Con esto dicho planteamos la desigualdad [math], que despejando nos queda que [math]
Teniendo el concepto de límite podemos saber que [math] [math] [math] y que cuando [math] vale [math], que es el menor valor que puede tomar, la expresión vale [math], entonces [math], y [math] es el primo más grande que cumple esto, por lo tanto [math]
Un segundo despeje de la desigualdad [math] es [math], de donde sale que para que [math] sea positivo, [math] debe ser mayor a [math], y como el primo siguiente a [math] es [math], entonces [math]
Probamos los [math] casitos con [math] valiendo [math], [math], [math] y [math] respectivamente en la ecuación original, y finalmente obtenemos como única solución [math]

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2007- P1 N3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 23 Oct, 2019 11:42 pm

Otra diferente

Solución:
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La ecuación del enunciado es equivalente a $p(p-1)=q(37q-1)$, de donde es claro que $p>q$, y como ambos son primos tenemos que $p\mid 37q-1$ y $q\mid p-1$. De la primer relación obtenemos que existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $37q-1=kp\Rightarrow 37q=kp+1\Rightarrow q\mid kp+1$, combinando esto con la segunda relación tenemos que $q\mid kp+1-k(p-1)\Rightarrow q\mid k+1$, por lo que existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $k+1=nq\Rightarrow k=nq-1$.
Por otro lado, tenemos que $$p(p-1)=q(37q-1)\Rightarrow \frac{37q-1}{p}=\frac{p-1}{q}$$ y que $$37q-1=kp=(nq-1)p\Rightarrow \frac{37q-1}{p}=nq-1$$ de donde $$\frac{p-1}{q}=nq-1\Rightarrow p-1=q(nq-1)$$ por lo tanto $$(nq-1)p-(nq-1)=q(nq-1)^2\Rightarrow (nq-1)p+1=q(nq-1)^2+nq\Rightarrow 37q=q(nq-1)^2+nq$$ entonces $$37=(nq-1)^2+n\Rightarrow (nq-1)^2=37-n$$ luego, tenemos que $nq-1\mid 37-n$, de donde $$nq-1\leqslant 37-n\Rightarrow n(q+1)\leqslant 38\Rightarrow q+1\leqslant \frac{38}{n}$$ pero como $q$ es primo entonces vale que $$3\leqslant q+1\leqslant \frac{38}{n}\Rightarrow 3\leqslant \frac{38}{n}\Rightarrow n\leqslant \frac{38}{3}<13$$
Además, como $n\in \mathbb{N}$, los únicos valores que puede tomar de modo que $37-n$ sea un cuadrado perfecto son $1,12,21,28,33,36$. Por lo tanto, tenemos que $n=1$ o $n=12$. Si $n=12$ entonces $12q-1=5\Rightarrow q=\frac{1}{2}$, que no es posible. Luego, $n=1$, de donde $q-1=6\Rightarrow q=7$, además, $k=nq-1=6$, por lo que $37\cdot 7-1=37q-1=kp=6p$ de donde $p=43$.
La única solución es $(p,q)=(43,7)$.
Queda Elegantemente Demostrado

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