Nacional OMA 2008 P5 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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Nacional OMA 2008 P5 N2

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 15 Oct, 2012 8:47 pm

Sea [math] el número que se obtiene al multiplicar los factoriales de los primeros [math] enteros positivos:
[math]


Determinar si es posible cancelar uno de estos factoriales de modo que la multiplicación de los [math] factoriales que quedan sea un cuadrado perfecto.

ACLARACIÓN: El factorial de un número entero positivo es la multiplicación de todos los enteros desde [math] hasta dicho número.
Por ejemplo, [math]; [math].
Un número entero se llama cuadrado perfecto si es el cuadrado de un número entero. Por ejemplo, [math] y [math] son cuadrados perfectos, porque [math] y [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional OMA 2008 P5 N2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 15 Oct, 2012 9:13 pm

Spoiler: mostrar
Para cada [math] impar, escribimos [math].

Luego:

[math].

Entonces:

[math]

[math]

[math]

Luego, sacamos [math] y ganamos.
[math]

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Turko Arias

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Re: Nacional OMA 2008 P5 N2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 15 Oct, 2012 9:22 pm

Spoiler: mostrar
Bueno, lo primero es ver lo siguiente:
[math].
Es claro entonces que el producto de todos los términos de la forma [math] es un cuadrado perfecto, por lo tanto lo retiramos, y nos queda lo siguiente:
[math].
Es trivial ver que [math], por lo tanto ese término también es un cuadrado perfecto, entonces vemos que con cancelar el término [math] estamos.
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Peznerd
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Re: Nacional OMA 2008 P5 N2

Mensaje sin leer por Peznerd » Jue 07 Nov, 2019 8:45 pm

Turko Arias escribió:
Lun 15 Oct, 2012 9:22 pm
Spoiler: mostrar
Bueno, lo primero es ver lo siguiente:
$P=(1!)(2!)(3!)...(2008!)=2(3!)^24(5!)^26...(2007!)^22008$.
Es claro entonces que el producto de todos los términos de la forma $(k!)^2$ es un cuadrado perfecto, por lo tanto lo retiramos, y nos queda lo siguiente:
$2.4.6.8...2008=2^{1004}(1004!)$.
Es trivial ver que $2^{1004}=(2^{502})^2$, por lo tanto ese término también es un cuadrado perfecto, entonces vemos que con cancelar el término $1004!$ estamos.
No entiendo de dónde sacaste "lo primero"
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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Turko Arias

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Re: Nacional OMA 2008 P5 N2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Vie 08 Nov, 2019 12:36 am

Mirá por ejemplo
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Toma estos dos factores consecutvos $5!6!=5!*(1*2*3*4*5)*6=5!5!6=(5!)^26$
Haces lo mismo con cada parejita de consecutivos y estás

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