La loteria matemática sortea un numero de [math]10 digitos, y los ganadores son todos los numeros que coinciden con el sorteado en exactamente [math]9 posiciones y ademas son multiplos de [math]7. Si el numero sorteado es el [math]1234567890, determinar cuantos numeros ganadores hay.
No se me ocurre otra manera mas que ver los casitos y criterio de divisibilidad por [math]7, pero como ese no lo manejo muy bien, quisiera ver una solucion alternativa a la mia.
Los números ganadores seran de la forma: [math]123456789x, [math]12345678x0, etc. Con [math]x distinto del numero de su respectiva posición correspondiente al numero sorteado. Creo que lo único que queda por hacer es agarrar y hacer los [math]10 casos uno por uno y ver cual puede ser el valor de [math]x segùn el criterio del [math]7 (sabemos que son a lo sumo 90 casos, 9 por cada cifra).
El caso [math]123456789x se puede ver a mano. Notemos que [math]1234567890\equiv 3 \pmod{7}. Ahora, sacamos el número del [math]n+1-ésimo lugar desde el cero hacia el uno. Eso es hacer [math]1234567890 - 10^n(10-n). Y agregar el número [math]x en esa posición es entonces [math]1234567890 + 10^n(x-10+n). Queremos que eso sea [math]0 módulo [math]7. Eso nos da [math]3 + 3^n (x-3+n) \equiv 0 \pmod{7}, de donde [math]x \equiv 3 + n + \dfrac{1}{3^{n-1}} \equiv n+3+3^{5(n-1)} \equiv n+3+5^{n-1} \pmod{7}, (donde [math]\dfrac{1}{a} es el inverso modular de [math]a). Como [math]x<10, eso va a tener dos soluciones cuando [math]x\equiv 0,1,2 \pmod{7}, y sólo una en el resto de los casos. Lo único que tenemos que hacer ahora es variar el [math]n, por lo que serían [math]9 casos para probar a mano .
Si los hacemos, y le sumamos el caso [math]123456789x (para el cual solo se puede reemplazar [math]x=4), vemos que hay [math]12 billetes ganadores.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Como los números ganadores se tienen que corresponder con exactamente 9 cifras del número sorteado, se puede entender el problema como:
"hallar todos los múltiplos de potencias de 10 que que al sumarlos o restarlos a 1234567890 resulte un múltiplo de 7"
o, expresado simbólicamente, $(1234567890\pm k·10^{n})\equiv 0\ (mod \ 7)$
Como $1234567890\equiv 3\ (mod \ 7)$, entonces la fórmula anterior es equivalente a:
$$(3\pm k·10^{n})\equiv0\ (mod \ 7)$$
de donde se deduce que:
$k·10^{n}\equiv3\ (mod\ 7)$, si $k·10^{n}$ se resta, o
$k·10^{n}\equiv4\ (mod\ 7)$, si $k·10^{n}$ se suma.
Defino $J_{n}$ tal que: $10^{n} \equiv J_{n}\ (mod\ 7)$
Vamos ahora por el primer caso:
$$k·10^{n} \equiv 3\ (mod\ 7)$$
remplazo por la equivalencia anterior y resulta:
$$k·J_{n} \equiv3\ (mod\ 7)$$
Ahora hago la lista de los posibles de pares $(k,J_{n})$ que cumplen la ecuación: $(1,3)$, $(2,5)$, $(3,1)$, $(4,6)$, $(5,2)$, $(6,4)$, $(8,3)$, $(9,5)$.
Enumero los valores de $J_{n}$, para $0 \leq n \leq 9$, cada uno con sus respectivos valores de $k$. Hay que recordar que $k$ regula la cifra que se restará, mientras $10^{n}$ establece que cifra de $1234567890$ a la que se le restará $k$. Por ende, esta última cifra debe ser mayor o igual que $k$.
$J_{0}=1$, dado que la cifra de unidades es $0$, no se le puede restar ningun $k$.
$J_{1}=3$, como la cifra de decenas es 9, se puede restar $k=1$ o $k=8$.
$J_{2}=2$, resulta $k=5$.
$J_{3}=6$, $k=4$
$J_{4}=4$, $k=6$
$J_{5}=5$, $k=2$
$J_{6}=1$, $k=3$
$J_{7}=3$, $k=1$
$J_{8}=2$, no se puede restar ningún $k$
$J_{9}=6$, tampoco se puede restar ningún $k$.
Se realiza un proceso análogo para el segundo caso, es decir, la suma.
$$k·10^{n} \equiv 4\ (mod\ 7)$$
Remplazo según la definición de $J_{n}$
$$k·J_{n} \equiv 4\ (mod\ 7)$$
La lista de posibles de pares $(k,J_{n})$ que cumplen la ecuación es: $(1,4)$, $(2,2)$, $(2,9)$, $(3,6)$, $(5,5)$, $(6,3)$, $(8,4)$.
También aquí hago una lista con los $J_{n}$, para $0 \leq n \leq 9$, y sus respectivos valores de $k$. Hay que recordar que la suma que genere $k·10^{n}$ debe ser menor o igual que $9$.
$J_{0}=1$, como la cifra de unidades es $0$, se puede sumar $k= 4$
$J_{1}=3$, como la cifra de decenas es 9, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{2}=2$, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{3}=6$, no se le puede sumar ningún $k$
$J_{4}=4$, resulta $k=1$
$J_{5}=5$, no se puede sumar ningún $k$
$J_{6}=1$, $k=4$
$J_{7}=3$, $k=6$
$J_{8}=2$, $k=2$
$J_{9}=6$, $k=3$
En total, los números ganadores de la lotería son $14$: $1234567894$, $1234567880$, $1234567810$, $1234567390$, $1234563890$, $1234507890$, $1234577890$, $1234367890$, $1231567890$, $1238567890$, $1224567890$, $1294567890$, $1434567890$, $4234567890$.
Probar ir cambiando cada uno de los 9 dígitos, e ir probando si eran múltiplos de 7. Osea, cambié el 0 por el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 (solo dio correcto con el 4) y hice lo mismo con los demás dígitos, dándome 14 ganadores:
Sabiendo que el número sorteado es 1234567890 y los ganadores son aquellos que coinciden en 9 dígitos exactamente con el mismo y a su vez tienen que ser divisible por 7, entonces los ganadores serán del tipo:
123456789x, 12345678x0,1234567x90, 123456x890, 12345x7890, 1234x67890, 123x567890, 12x4567890, 1x34567890, x234567890.
Donde x es un dígito del 0 al 9, distinto al que estaba en su lugar.
Teniendo en cuenta que para que sean ganadores además de cumplir esto tienen que ser divisible por 7, lo que hice fue hacer las 90 posibilidades de los números ganadores ( 9 x 10, el 9 ya que por cada dígito tendrá 9 posibilidades para remplazarlo, ya que a los 10 dígitos se le descuenta 1 que es el mismo ,y 10 porque son 10 dígitos del número sorteado) y dividirlos entre 7 buscando cuales cumplen y obtuve que los números ganadores son 14:
1_1234567894
2_1234567810
3_1234567880
4_1234567390
5_1234563890
6_1234507890
7_1234577890
8_1234367890
9_1231567890
10_1238567890
11_1224567890
12_1294567890
13_1434567890
14_4234567890
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