Nacional 2009 N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bruno
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Nacional 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por bruno »

Un entero positivo [math] es aceptable si la suma de los cuadrados de sus divisores propios es igual a [math] (un divisor de [math] es propio si es distinto de [math] y de [math]). Hallar todos los números aceptables menores que [math].
Squee
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Re: Nacional 2009- P2 N3

Mensaje sin leer por Squee »

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En lo inmediato estuve acotando con cierto criterio y vi que funciona para el 2 y el 4 y los primos gemelos, hasta ahora no logre encontrar una forma que lo justifique pero me parece que sale directo del 2n+4, han de tener 2 de diferencia.
Veamos.
Si los unicos dos divisores (dejando de lado los divisores triviales 1 y el numero) son:
(n+1)^(1/2)+1 y (n+1)^(1/2)-1 entonces la suma de sus cuadrados es:
2n+4 y lo cumple.
Entonces aca queda justificado porque sirve con todos estos numeros.
Vamos a ver porque no pueden tener mas de dos divisores (dejando de lado los triviales)
Supongamos que tienen cuatro (la unica forma de que tuviesen tres es que sea n^4, y n^2+n^4+n^6 es mayor a 2n^4+4 para cualquier numero mayor o igual a dos), el 2, el 4, un primo p y 2p.
Entonces el numero es 4p, 8p+4 es lo que necesitamos.
Pero conseguimos: 5p^2+20.
Ahora vamos a buscar las raices para ver que 5p^2+20 supera a 8p+4 a partir de un numero y va a bastar con probar con los numeros menores (como 5p^2+20 crece mas rapido que 8p+4 sabemos que es para numeros menores).
Bueno, no tiene raices en los reales, entonces siempre es mayor.
Ahora, si bien esto no es una demostracion y esta lejos de serlo, para mi es claro que con mayor cantidad de divisores solo se aleja mas de la funcion, y si uso otro primo pequeño (en este caso use 2 y su cuadrado) va a ser aun peor, use el minimo.
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jhn

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Re: Nacional 2009- P2 N3

Mensaje sin leer por jhn »

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Los adecuados son el 8 y todos los productos de dos primos gemelos.

Si [math] es primo es obvio que no es adecuado. Si [math] no es primo, sea [math] su menor factor primo. Si [math] entonces [math] y es claro que [math] no es adecuado, pues [math]. Si [math] entonces [math] y [math] son divisores propios de [math], y se tiene [math], de donde [math] y [math]. Ahora hay dos casos:

I) [math]. En este caso [math], y [math] debe ser primo pues si no su menor factor primo sería menor que [math]. Esto sólo puede ocurrir si [math], [math] y [math], que no es adecuado.


II) [math]. En este caso [math]. Si [math] entonces [math], y este número es adecuado. Si [math] entonces [math] debe ser primo (si no, su menor factor primo [math] cumpliría [math] y sería menor que [math], ya que [math]). y [math] es el producto de dos primos gemelos. Todos estos son adecuados ya que [math].
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Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
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jhn

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Re: Nacional 2009- P2 N3

Mensaje sin leer por jhn »

Me faltó decir cuáles son los números adecuasdos menores que 10000.
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Son el 8, $3\cdot 5= 15$, $5\cdot 7=35$, $11\cdot 13=143$, $17\cdot 19=323$, $29\cdot 31=899$, $41\cdot 43=1763$, $59\cdot 61=3599$ y $71\cdot 73=5183$.
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Vladislao

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Re: Nacional 2009- P2 N3

Mensaje sin leer por Vladislao »

Vamos a meter alguna variante en la solución.
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Sean [math] los divisores propios de [math]. Si [math] es aceptable, entonces [math]. Notemos, además, que [math], para cada [math]. Es decir, [math].

Pero, notemos que por la desigualdad de medias geométrica y cuadrática, se tiene que: [math]. Es decir que: [math]. Luego: [math], de donde se sigue [math].

Luego, de la última desigualdad, se ve que si [math], nada tiene sentido. Si [math], la única posibilidad es [math].

Pero [math], absurdo.

Si [math], entonces [math] es un cuadrado perfecto, y [math], luego [math], imposible.

Si [math], entonces, puede suceder que [math] con [math] primos, tales que [math] y [math], y entonces [math], de donde se sigue que [math], de donde [math], de donde se sigue que si [math] es producto de primos que difieran en [math], es aceptable.

También puede suceder que [math], con [math] primo, en cuyo caso, [math] y [math], y en ese caso, [math], o sea [math], de donde [math] divide a [math], o sea que sólo puede ser [math], que funciona, es decir [math].

Conclusión, los únicos números aceptables son los productos de primos gemelos (que difieren en 2) y el [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2009 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Sea [math] la cantidad de divisores de [math]. Dividimos el problema en [math] casos. A partir de ahora llamo [math] a los primos.

Caso [math]: [math]
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Entonces [math] no tiene divisores propios, y la ecuación resulta:
[math]
Absurdo, ya que [math] es positivo.
Luego, [math] no es aceptable.
Caso [math]: [math]
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Entonces [math], y la ecuación resulta:
[math]
Absurdo, ya que [math] es positivo.
Luego, [math] no es aceptable.
Caso [math]: [math]
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Sean [math] y [math] los divisores propios de [math], con [math] y [math], entonces la ecuación resulta:
[math]
Si [math], [math] es aceptable sii [math].
Caso [math]: [math]
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Entonces [math] y [math], y la ecuación resulta:
[math]
Pero [math] y [math].
Por lo tanto [math]
Absurdo, ya que eran iguales.
Luego, [math] no es aceptable.
Caso [math]: [math]
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Sean [math] y [math] dos de los divisores propios de [math], con [math]. Entonces [math], y la ecuación resulta:
[math]
Vamos a demostrar que [math] sin importar el valor de [math].
Primero, tenemos que [math]. Después, veamos que [math].
Por lo tanto [math]. Entonces [math]
Absurdo, ya que eran iguales.
Luego, [math] no es aceptable.
Entonces los únicos números aceptables son el [math] y los productos de primos gemelos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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