Un entero positivo [math]n es aceptable si la suma de los cuadrados de sus divisores propios es igual a [math]2n + 4 (un divisor de [math]n es propio si es distinto de [math]1 y de [math]n). Hallar todos los números aceptables menores que [math]10000.
En lo inmediato estuve acotando con cierto criterio y vi que funciona para el 2 y el 4 y los primos gemelos, hasta ahora no logre encontrar una forma que lo justifique pero me parece que sale directo del 2n+4, han de tener 2 de diferencia.
Veamos.
Si los unicos dos divisores (dejando de lado los divisores triviales 1 y el numero) son:
(n+1)^(1/2)+1 y (n+1)^(1/2)-1 entonces la suma de sus cuadrados es:
2n+4 y lo cumple.
Entonces aca queda justificado porque sirve con todos estos numeros.
Vamos a ver porque no pueden tener mas de dos divisores (dejando de lado los triviales)
Supongamos que tienen cuatro (la unica forma de que tuviesen tres es que sea n^4, y n^2+n^4+n^6 es mayor a 2n^4+4 para cualquier numero mayor o igual a dos), el 2, el 4, un primo p y 2p.
Entonces el numero es 4p, 8p+4 es lo que necesitamos.
Pero conseguimos: 5p^2+20.
Ahora vamos a buscar las raices para ver que 5p^2+20 supera a 8p+4 a partir de un numero y va a bastar con probar con los numeros menores (como 5p^2+20 crece mas rapido que 8p+4 sabemos que es para numeros menores).
Bueno, no tiene raices en los reales, entonces siempre es mayor.
Ahora, si bien esto no es una demostracion y esta lejos de serlo, para mi es claro que con mayor cantidad de divisores solo se aleja mas de la funcion, y si uso otro primo pequeño (en este caso use 2 y su cuadrado) va a ser aun peor, use el minimo.
Los adecuados son el 8 y todos los productos de dos primos gemelos.
Si [math]n es primo es obvio que no es adecuado. Si [math]n no es primo, sea [math]p su menor factor primo. Si [math]n/p=p entonces [math]n=p^2 y es claro que [math]n no es adecuado, pues [math]p^2<2p^2+4. Si [math]n/p\neq p entonces [math]p y [math]n/p son divisores propios de [math]n, y se tiene [math]2n+4\geq p^2+(n/p)^2=(n/p -p)^2 + 2n, de donde [math]0<(n/p -p)^2\leq 4 y [math]0<n/p -p\leq 2. Ahora hay dos casos:
I) [math]n/p -p=1. En este caso [math]n=p(p+1), y [math]p+1 debe ser primo pues si no su menor factor primo sería menor que [math]p. Esto sólo puede ocurrir si [math]p=2, [math]p+1=3 y [math]n=6, que no es adecuado.
II) [math]n/p -p=2. En este caso [math]n=p(p+2). Si [math]p=2 entonces [math]n=8, y este número es adecuado. Si [math]p\geq 3 entonces [math]p+2 debe ser primo (si no, su menor factor primo [math]q cumpliría [math]q^2\leq p+2 y sería menor que [math]p, ya que [math]p^2\geq p+6). y [math]n es el producto de dos primos gemelos. Todos estos son adecuados ya que [math]p^2+(p+2)^2 = 2p(p+2)+4.
Sean [math]d_1, d_2, \ldots, d_k los divisores propios de [math]n. Si [math]n es aceptable, entonces [math]2n+4=d_1^2+d_2^2+\ldots+d_k^2. Notemos, además, que [math]n=d_id_{k-i}, para cada [math]i. Es decir, [math]d_1\cdot d_2\cdot \ldots d_k = n^{\frac{k}{2}}.
Pero, notemos que por la desigualdad de medias geométrica y cuadrática, se tiene que: [math]\sqrt{\dfrac{d_1^2+d_2^2+\ldots+d_k^2}{k}}\geq \sqrt[k]{d_1\cdot d_2\cdot \ldots \cdot d_k}. Es decir que: [math]\sqrt{\frac{2n+4}{k}} \geq \sqrt[k]{n^{\frac{k}{2}}}. Luego: [math]2n+4\geq kn, de donde se sigue [math]4 \geq n(k-2).
Luego, de la última desigualdad, se ve que si [math]n\leq 4, nada tiene sentido. Si [math]n\geq 5, la única posibilidad es [math]k=0,1,2.
Pero [math]k = 0 \iff 2n+4=0, absurdo.
Si [math]k=1, entonces [math]n es un cuadrado perfecto, y [math]d_1=\sqrt{n}, luego [math]d_1^2 = 2n+4 \iff n^2=2n+4 \iff (n-1)^2 = 5, imposible.
Si [math]k=2, entonces, puede suceder que [math]n=pq con [math]p<q primos, tales que [math]p=d_1 y [math]q=d_2, y entonces [math]d_1^2+d_2^2 = p^2+q^2 = 2n+4 = 2pq+4, de donde se sigue que [math]p^2-2pq+q^2=4, de donde [math](p-q)^2=4 \iff p=q+2, de donde se sigue que si [math]n es producto de primos que difieran en [math]2, es aceptable.
También puede suceder que [math]n=p^3, con [math]p primo, en cuyo caso, [math]d_1=p y [math]d_2=p^2, y en ese caso, [math]d_1^2+d_2^2 = p^2+p^4=2n+4=2p^3+4, o sea [math]p^4+p^2-2p^3=4, de donde [math]p divide a [math]4, o sea que sólo puede ser [math]p=2, que funciona, es decir [math]n=8.
Conclusión, los únicos números aceptables son los productos de primos gemelos (que difieren en 2) y el [math]8.
Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Entonces [math]n no tiene divisores propios, y la ecuación resulta: [math]0=2n+4\Rightarrow 2n=-4\Rightarrow n=-2
Absurdo, ya que [math]n es positivo.
Luego, [math]n no es aceptable.
Entonces [math]D_n=\{1;p;p^2\}, y la ecuación resulta: [math]p^2=2p^2+4\Rightarrow p^2+4=0\Rightarrow p^2=-4
Absurdo, ya que [math]p^2 es positivo.
Luego, [math]n no es aceptable.
Sean [math]p y [math]p+x los divisores propios de [math]n, con [math]x>0 y [math]n=p(p+x)=p^2+px, entonces la ecuación resulta: [math]p^2+(p+x)^2=2(p^2+px)+4\Rightarrow p^2+p^2+2px+x^2=2p^2+2px+4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2
Si [math]d=2, [math]n es aceptable sii [math]D_n=\{1;p;p+2;n\}.
Entonces [math]n=m^2 y [math]D_n=\{1;p;m;\frac{m^2}{p};m^2\}, y la ecuación resulta: [math]p^2+m^2+\frac{m^4}{p^2}=2m^2+4\Rightarrow p^2+\frac{m^4}{p^2}=m^2+4\Rightarrow p^4+m^4=m^2p^2+4p^2
Pero [math]2\leq p\Rightarrow 4\leq p^2\Rightarrow 4p^2\leq p^4 y [math]p<m\Rightarrow p^2<m^2\Rightarrow m^2p^2<m^4.
Por lo tanto [math]p^4+m^4>m^2p^2+4p^2
Absurdo, ya que eran iguales.
Luego, [math]n no es aceptable.
Sean [math]k y [math]t dos de los divisores propios de [math]n, con [math]k,t<\sqrt{n}. Entonces [math]D_n=\{1;\ldots ;k;\ldots ;t;\ldots ;\frac{n}{t};\ldots ;\frac{n}{k};\ldots ;n\}, y la ecuación resulta: [math]k^2+t^2+\frac{n^2}{t^2}+\frac{n^2}{k^2}+\ldots =2n+4\Rightarrow \frac{k^4+n^2}{k^2}+\frac{t^4+n^2}{t^2}+\ldots =2(n+2)
Vamos a demostrar que [math]\frac{k^4+n^2}{k^2}>n+2 sin importar el valor de [math]k.
Primero, tenemos que [math]n>k^2\Rightarrow n^2>k^2n. Después, veamos que [math]k\geq 2\Rightarrow k^4>k^3\geq 2k^2.
Por lo tanto [math]k^4+n^2>k^2n+2k^2=k^2(n+2)\Rightarrow \frac{k^4+n^2}{k^2}>n+2. Entonces [math]\frac{k^4+n^2}{k^2}+\frac{t^4+n^2}{t^2}+\ldots >\frac{k^4+n^2}{k^2}+\frac{t^4+n^2}{t^2}>n+2+n+2=2n+4
Absurdo, ya que eran iguales.
Luego, [math]n no es aceptable.
Entonces los únicos números aceptables son el [math]8 y los productos de primos gemelos.