Regional 1999 N3 P3

[bruno]

Determinar cuántos pares [math](a,b) de números enteros con [math]1 \leq a \leq 100, [math]1 \leq b \leq 100, son tales que [math]a^3 +b ^3 es múltiplo de [math]7

[tuvie]

Este problema esta en el foro, no se dónde, pero casi seguro de que esta. Ahora veo si lo encuentro y edito.

[juan F]

Alguien lo hace?

[Ivan]

Miramos los restos en la división por [math]7. Hagamos una tablita con el resto de [math]n y el resto de [math]n^3:

[math]\begin{array}{c|c} \text{Resto de }n &\text{Resto de } n^3 \\ \hline 0 & 0 \\1 & 1 \\2 & 1 \\ 3 & 6 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6 \\ 6 & 6 \end{array}

Notemos que hay solamente tres posibilidades:

• ([math]a tiene resto [math]0) y ([math]b tiene resto [math]0)
• ([math]a tiene resto [math]1, [math]2 o [math]4) y ([math]b tiene resto [math]3, [math]5 o [math]6)
• ([math]a tiene resto [math]3, [math]5 o [math]6) y ([math]b tiene resto [math]1, [math]2 o [math]4)

Ahora contemos cuantos números menores a [math]100 hay: con resto [math]0; con resto [math]1, [math]2 o [math]4; con resto [math]3, [math]5 o [math]6.

Tenemos [math]100=14\cdot 7+2. Así que hay [math]14 números con resto [math]0, [math]15 números con resto [math]1, [math]15 números con resto [math]2, [math]14 números con resto [math]3, [math]14 números con resto [math]4, [math]14 números con resto [math]5, [math]14 números con resto [math]6.

Luego hay:

• [math]14 números con resto [math]0
• [math]44 números con resto [math]1, [math]2 o [math]4
• [math]42 números con resto [math]3, [math]5 o [math]6

Entonces la respuesta es [math]14\cdot 14+ 44\cdot 42 + 42\cdot 44 =3892.

[JPablo]

Tengo una pregunta, porque la solución de @Ivan te da el resultado al considerar al par [math]\left ( a,b \right ) distinto del par [math]\left ( b,a \right ). Pero yo lo pensé de este modo:

Dado que es una suma de cubos, pues a mí me parece que el papel de las variables [math]a y [math]b es simétrico. Así, por ejemplo, el par [math]a=7 y [math]b=14 es el mismo par que el [math]a=14 y [math]b=7. De esta forma, siguiendo el mismo razonamiento tengo la siguiente cantidad de posibilidades:

[math]14\cdot 14+44\cdot 42=2044

No sé si es que yo estoy pensando algo mal, pero yo lo resolví de ese modo. Básicamente, el problema podría haber sido reformulado de la siguiente forma: "Determinar la cantidad de parejas de números enteros positivos entre [math]1 y [math]100 inclusive tales que la suma de sus cubos es un múltiplo de [math]7", de forma que mi resultado sería lógico.

Bah, no sé, a lo mejor estoy pensando algo mal. Me gustaría que alguien me aclare la duda, desde ya muchas gracias.

[Ivan]

Siempre que se habla de pares el orden importa. Si uno resuelve bien el problema considerando que [math](a,b)=(b,a) posiblemente saque 1- o 1--, especialmente teniendo en cuenta que los dos problemas se resuelven esencialemente de la misma forma.

Más allá de la duda de si el orden importa o no, cuando hacés [math]14\cdot 14 hay pares que estas contando dos veces, por ejemplo [math](0,7) y [math](7,0), [math](28,14) y [math](14,28), etc. La cantidad de pares (sin importar el orden) con [math]a\equiv 0 y [math]b\equiv 0 es [math]14+\binom{14}{2}.

[Gianni De Rico]

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Viendo los residuos cúbicos en módulo [math]7:
[math]1^3\equiv 1(7)
[math]2^3\equiv 1(7)
[math]3^3\equiv -1(7)
[math]4^3\equiv 1(7)
[math]5^3\equiv -1(7)
[math]6^3\equiv -1(7)
[math]7^3\equiv 0(7)

Entonces los números son todos los pares [math](a,b) tales que [math]a\equiv 1(7)\vee a\equiv 2(7)\vee a\equiv 4(7) y [math]b\equiv 3(7)\vee b\equiv 5(7)\vee b\equiv 6(7) o [math]a\equiv b\equiv 0(7) y sus espejos.

Como [math]1\leq a\leq 100 y [math]1\leq b\leq 100 entonces hay [math]44 números con resto [math]1, [math]2 o [math]4, hay [math]42 números con resto [math]3, [math]5 o [math]6 y [math]14 números con resto [math]0.

Por lo que hay [math]44\times 42\times 2+14^2=3892 pares [math](a,b) que cumplen con las con condiciones.

[drynshock]

$\pi \pi$ ¡¡Este es mi mensaje 314!! $\pi \pi$

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Veamos los restos cúbicos modulo 7:
$(7k)^3 \equiv 0(mod 7)$
$(7k+1)^3 \equiv 1(mod 7)$
$(7k+2)^3 \equiv 1(mod 7)$
$(7k+3)^3 \equiv 6(mod 7)$
$(7k+4)^3 \equiv 1(mod 7)$
$(7k+5)^3 \equiv 6(mod 7)$
$(7k+6)^3 \equiv 6(mod 7)$

Por lo tanto los restos modulo 7 quedarían:
$\{1, 2, 4\}$
$\{3, 5, 6\}$
$\{0\}$
Considerando el intervalo $1 \leq a, b \leq 100$ tenemos que hay:
15 números de la forma $7k + 1$
15 números de la forma $7k + 2$
14 números de la forma $7k + 4$
Total = 44 números.

14 números de la forma $7k + 3$
14 números de la forma $7k + 5$
14 números de la forma $7k + 6$
Total = 42 números.

Por lo tanto tenemos $44.42.2 = 3696$ números que cumplen. Recordemos que debemos multiplicar por dos ya que $(a,b) \neq (b,a)$

Finalmente, nos queda calcular los números tales que $a \equiv b \equiv 0 (mod 7)$. Hay 14 números que satisfacen, calculando las combinaciones nos queda que: $14.14 = 196$ números que cumplen. Notemos que en este caso no debemos multiplicar por 2 ya que dentro de nuestra cuenta ya estamos calculando las permutaciones de $(a,b)$ porque $a \equiv b \equiv 0 (mod 7)$.

Sumando los casos totales tenemos $3696 + 196 = 3892$ pares de números que cumplen.