34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 1

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Nacho

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34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 1

Mensaje sin leer por Nacho »

En el pizarrón están escritos algunos números enteros positivos. La suma de cualesquiera dos de ellos es una potencia de dos con exponente entero (como [math]). Determinar el máximo número de enteros distintos que puede haber en el pizarrón. (3 puntos)
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Emanuchi
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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema

Mensaje sin leer por Emanuchi »

Primero notemos que existen un par de enteros positivos distintos [math] y [math] tal que su suma dan como resultado una potencia de dos, con [math]. Esto ya es obvio, entonces aqui ya tenemos dos números, ahora vamos a demostrar que en el pizarrón no puede haber un tercer número [math] que cumpla con lo requerido, suponga mos que existe. Entonces se tendría que [math] y que [math] cosa que es algo absurdo porque dijimos que [math] (si son iguales no tendría sentido porque los numeros serian los mismos en el pizarrón) entonces se llega a que no existe un número [math] para que cumpla con las dos sumas y en el pizarrón quedan un máximo de dos números.
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Matías V5

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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Dos cosas:
La primera y menos importante, no alcanza con decir "es obvio que existen [math] y [math]", hay que dar un ejemplo para que quede probado, ponele decís "los números [math] y [math] cumplen lo pedido pues [math]".
La segunda y sí ya más grave, no entendí cómo el hecho de que [math] te lleva a un absurdo... o sea, te sale que [math], y después?
We gave you a start so you'd know what to do
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Joe.

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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema

Mensaje sin leer por Joe. »

Spoiler: mostrar
Digamos que tenemos tres números distintos, wlog [math] ,
[math]
[math]
[math]
y como [math],
[math]
entonces
[math], que es absurdo porque dijimos que [math] era mayor que [math],
luego no puede haber tres numeros distintos,
y un ejemplo con [math] numeros es [math], [math].
luego el maximo es [math].
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Emanuchi
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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema

Mensaje sin leer por Emanuchi »

Gracias por corregirme mati, lo que queria decir es que c solamente satisface una de las dos condiciones, o con a o con b pero no puede con las dos... Si c + a da una potencia de dos, c + b no lo daria porque c toma un valor para que con b que es el menor alcance a llegar a la potencia dicha, pero no serviria para a. La diferencia entre dos potencias de dos es 2t, siendo t la potencia anterior, si c + b = t , c no alcanza a que sumado con a lleguen a 2t. Espero que halla quedado un pcoco mas clar
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