Nacional 2009 N2 P5

[amcandio]

Hallar el mayor entero positivo $n$ tal que:$$\left \lfloor \frac{n}{4}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{2n+3}{7}\right \rfloor =\left \lfloor \frac{8n+9}{15}\right \rfloor$$
Aclaración: Los corchetes denotan la parte entera del número que encierran. Por ejemplo, $\left \lfloor \frac{9}{4}\right \rfloor =2$; $\left \lfloor 4\right \rfloor =4$; $\left \lfloor \frac{3}{8}\right \rfloor =0$

[bruno]

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Primero eliminamos los corchetes para observar si hay un entero [math]n que cumpla

[math]\frac{n}{4} [math]+ [math]\frac{2n+3}{7}[math]= [math]\frac{8n+9}{15}

[math]\frac{7n + (2n+3) \times 4 }{28}= [math]\frac{8n+9}{15}

[math]28 \times (8n+9)[math]= [math](15n+12) \times 15

[math]224n+252[math]= [math]225n+180

[math]n=72

Por lo tanto el minimo numero para el que se cumple la igualdad es [math]72. Sea [math]n el numero que estamos buscando tenemos que [math]72\leq n \leq k (con [math]k entero).

Probamos la igualdad para [math]n=73

[math]\left \lfloor \frac{73}{4} \right \rfloor [math]+ [math]\left \lfloor \frac{149}{7} \right \rfloor [math]= [math]\left \lfloor \frac{593}{15} \right \rfloor

[math]18+21 = 39. Se cumple para [math]n=73

Probamos la igualdad para [math]n=74

[math]\left \lfloor \frac{74}{4} \right \rfloor [math]+ [math]\left \lfloor \frac{151}{7} \right \rfloor [math]= [math]\left \lfloor \frac{601}{15} \right \rfloor

[math]18 + 21 \neq 40. La igualdad no se cumple para [math]n=74. Por lo tanto el maximo numero [math]n es [math]73.

[Vladislao]

¿Y qué pasa con [math]n=747?

Revisá

[Vladislao]

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Observamos que:

$\left\lfloor \displaystyle\frac{n}{4} \right\rfloor + \left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} = \displaystyle\frac{n}{4}$

$\left\lfloor \displaystyle\frac{2n+3}{7} \right\rfloor + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} = \displaystyle\frac{2n+3}{7}$

$\left\lfloor \displaystyle\frac{8n+9}{15} \right\rfloor + \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\} = \displaystyle\frac{8n+9}{15}$

Luego, en la ecuación de partida:

$\displaystyle\frac{n}{4} + \displaystyle\frac{2n+3}{7} + \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\} = \displaystyle\frac{8n+9}{15} + \left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\}$

Dejamos del lado derecho sólo las mantisas:

$\displaystyle\frac{n}{4} + \displaystyle\frac{2n+3}{7} - \displaystyle\frac{8n+9}{15} = \left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} - \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\}$

$\displaystyle\frac{n-72}{420} = \left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} - \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\}$

Observamos que $n$ es directamente proporcional a la suma algebraica de las mantisas. Optimizaremos el lado derecho, para ello, tomamos:

$\left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} = \displaystyle\frac{3}{4}$

$\left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} = \displaystyle\frac{6}{7}$

$\left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\} = \displaystyle\frac{0}{15} = 0$

Si reemplazamos los valores en la ecuación, observamos que:

$\displaystyle\frac{n-72}{420} \leq \displaystyle\frac{3}{4} + \displaystyle\frac{6}{7} - 0 $

De donde:

$n\leq 747$

Al reemplazar en la ecuación original, vemos que 747 satisface los requisitos, y además es el mayor valor, por lo que la solución queda completa.

[bruno]

ehh, que son las mantisas?

[Vladislao]

Mantisa es la parte decimal de un número real, se denota con corchetes, por ejemplo:

[math]\{\pi\}=0,14159...

[Caro - V3]

En realidad no... fijate que para los negativos es otra cosa.

La mantisa de un número real se define como:
[math]\{x\} = x - [x]
Siendo [math][x] la parte entera de [math]x.


Así tenemos, por ejemplo:
[math]\{118\} = 0
[math]\{ \pi \} = 0,14159...
[math]\{ -3,4 \} = 0,6

[crimeeee]

¿Alguien podría ser tan amable de explicarme lo que sigue a "Observamos que n es directamente proporcional a la suma algebraica..."?

Gracias

[Ivan]

Buscamos un [math]n que cumpla:

[math]\displaystyle\frac{n-72}{420} = \left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} - \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\}

Entonces Vladislao se fija que el lado derecho no puede ser demasiado grande:

[math]\left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} puede ser [math]\frac{0}{4}, [math]\frac{1}{4}, [math]\frac{2}{4}, [math]\frac{3}{4}. O sea que [math]\left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\}\leq\frac{3}{4}

Del mismo modo, [math]\left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} \leq\frac{6}{7}.

Tambien tenemos [math]0\leq\left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\} (acá buscamos una desigualdad al revés porque está restando).

Sumando las [math]3 desigualdades tenemos:

[math]\left\{ \displaystyle\frac{n}{4}\right\} + \left\{ \displaystyle\frac{2n+3}{7}\right\} - \left\{ \displaystyle\frac{8n+9}{15}\right\}\leq\frac{3}{4}+\frac{6}{7}-0

Entonces [math]\displaystyle\frac{n-72}{420}\leq\frac{3}{4}+\frac{6}{7}\Rightarrow n\leq747.

Pero como dijo Vladislao [math]n=747 es solución.

Si no se entendió algo decime

Observamos que n es directamente proporcional a la suma algebraica de las mantisas.

La frase no importa, lo que importa es la idea de obtener una cota superior para el [math]n mirando cada término.

[crimeeee]

Muchísimas gracias Ivan, ahora pude entender la solución.