IMO 2013 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 905
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

IMO 2013 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 23 Jul, 2013 6:36 pm

Demostrar que para cualquier par de enteros positivos [math] y [math], existen [math] enteros positivos [math] (no necesariamente distintos) tales que
[math]
2  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 905
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Re: IMO 2013 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 23 Jul, 2013 6:47 pm

Quizás después lo escriba un poco mejor, pero la idea está:
Spoiler: mostrar
Procedemos por inducción en [math].
Si [math], dado cualquier [math] basta tomar [math].
Supongamos que el problema vale para un cierto [math] y veamos que también vale para [math], esto es: dado [math], queremos ver que [math] se puede escribir como producto de [math] factores de la forma [math]. Analizamos dos casos según si [math] es par o impar.
Si [math] es par, escribimos [math]. El primer factor ya tiene la forma deseada. En el segundo factor podemos dividir numerador y denominador por [math], obteniendo así una fracción en la que el numerador y el denominador difieren en [math]. Por hipótesis inductiva, esta fracción se puede escribir como producto de [math] factores de la forma [math], logrando así nuestro objetivo.
Si en cambio [math] es impar, escribimos [math]. Esta vez el último factor es el que ya tiene la forma deseada, y en el primero podemos dividir por [math] y aplicar la hipótesis inductiva.
Esto completa el paso inductivo, y la solución del problema. [math]
4  
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

BrunZo

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 72
Registrado: Mar 21 Nov, 2017 8:12 pm
Medallas: 4
Nivel: 1

Re: IMO 2013 - Problema 1

Mensaje sin leer por BrunZo » Dom 05 May, 2019 4:56 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Supongamos que para $n=N$ se pueden hallar los valores de $m_i$ para todo $k$.
$$1+\frac{2^k-1}{2n-1}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n-1}\right)$$
$$1+\frac{2^k-1}{2n}=\left(1+\frac{2^{k-1}-1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2^k+2n-2}\right)$$
Entonces, para $n=2N-1$ ó $n=2N$, sabemos que el primer factor de la primera o la segunda expresión lo podemos armar con $k-1$ factores $1+\frac{1}{m_i}$ (hipótesis inductiva), que multiplicado por el segundo factor (de la forma deseada), nos da el resultado deseado.
Además, es fácil notar que se pueden elegir los factores si $n=1$ y/o $k=1$.
Con todo esto, concluimos el resultado deseado.
1  

Responder