Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 12 Jun, 2014 5:48 pm

Sea [math] el conjunto de los enteros positivos. Hallar todas las funciones [math] tales que [math] para todos [math] y [math] enteros positivos.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

Martín Lupin

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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Lun 04 May, 2020 8:06 pm

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La única solución es $f(n)=n$ para todo entero positivo $n$ y es fácil ver que cumple. Ahora voy a demostrar que es la única.
Sea $P(n, m)$ la proposición $$m^2+f(n)\mid mf(m)+n$$ donde $n$, $m$ son enteros positivos.
Por $P(n, f(n))$, tenemos que $$(f(n))^2+f(n)\mid f(n)\cdot f(f(n))+n$$
Como $f(n)\mid (f(n))^2+f(n)$, también se cumple que $$f(n)\mid f(n)\cdot f(f(n))+n\iff f(n)\mid n$$
Particularmente, para $n=1$ $$f(1)\mid 1\iff f(1)=1$$
Por $P(1, n)$, tenemos que $$n^2+1\mid nf(n)+1\Rightarrow n\leq f(n)$$
Pero como además $f(n)\mid n$, se cumple que $f(n)\leq n$. Entonces la única solución es $f(n)=n$ para todo entero positivo $n$.
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Sandy

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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Mensaje sin leer por Sandy » Mar 05 May, 2020 2:24 pm

Espero no haber flasheado en ningún paso :p
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Tomando $m=n$:
$m^2+f(m)\mid m\left(m^2+f(m)\right)-\left(mf(m)+m\right)=m^3-m$
Tomando $m=2$, queda que $4+f(2)\mid 6$, luego $f(2)=2$.
Tomando $m=2$ en la ecuación original queda que $4+f(n)\mid 4+n\Longleftrightarrow 4+f(n)\leq 4+n\Longleftrightarrow f(n)\leq n$ para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$

Supongamos que existe $t$ tal que $t>f(t)$. Tomando $m=t$:
$t^2+f(n)\mid tf(t)+n\Longleftrightarrow t^2+f(n)\leq tf(t)+n<t^2+n\Longleftrightarrow t^2+f(n)<t^2+n\Longleftrightarrow f(n)<n$ para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$.

Pero esto es absurdo ya que $f(2)=2$.
Luego, para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$, $f(n)\leq n$ pero para ningún $n\in \mathbb{Z}_{>0}$ $f(n)<n$, luego, de existir $f$, $f(n)=n$ para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$.
Claramente $f(n)=n$ vale ya que $m^2+f(n)=m^2+n\mid m^2+f(n)=mf(m)+n$, luego $f(n)=n$ es la única función que vale.
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 05 May, 2020 3:58 pm

Sandy escribió:
Mar 05 May, 2020 2:24 pm
Spoiler: mostrar
$4+f(n)\mid 4+n\Longleftrightarrow 4+f(n)\leq 4+n$
Spoiler: mostrar
Ojo que acá en general solamente vale el $\Rightarrow$.
O sea, $a\mid b\Rightarrow a\leq b$ está perfecto, pero fijate que $b-1<b$ y $b-1\not \mid b$ si $b>2$.
Queda Elegantemente Demostrado

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Sandy

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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 16 (N1)

Mensaje sin leer por Sandy » Mié 06 May, 2020 5:44 pm

Gianni De Rico escribió:
Mar 05 May, 2020 3:58 pm
Sandy escribió:
Mar 05 May, 2020 2:24 pm
Spoiler: mostrar
$4+f(n)\mid 4+n\Longleftrightarrow 4+f(n)\leq 4+n$
Spoiler: mostrar
Ojo que acá en general solamente vale el $\Rightarrow$.
O sea, $a\mid b\Rightarrow a\leq b$ está perfecto, pero fijate que $b-1<b$ y $b-1\not \mid b$ si $b>2$.
Ah sí tenés razón me acostumbré a escribir \Longleftrightarrow nomás :p
$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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