Regional 2001 N3 P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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JPablo
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Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por JPablo » Vie 08 Ago, 2014 6:48 pm

Dado un número natural [math], se denota [math] al producto de todos los divisores positivos de [math], incluidos [math] y [math]. Por ejemplo, [math].

Hallar todos los números naturales [math] menores que [math] tales que [math] tiene exactamente dos divisores primos distintos y [math].
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JPablo
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por JPablo » Vie 08 Ago, 2014 7:19 pm

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Sea [math] con [math] y [math] naturales primos y [math] y [math] naturales. Buscamos encontrar [math]. Por lo tanto debemos encontrar el producto de todos los números de la forma [math] siendo [math] e [math] naturales (o cero) menores que [math] y [math], respectivamente. Pero esto lo haremos por partes:

Primero cuando [math]. Entonces tenemos la siguiente productoria:

[math]

Ahora, si [math] tenemos entonces

[math]

Ahora, si [math] e [math] son naturales, debemos, para cada [math], multiplicarle cada uno de los [math]. O sea que si tenemos un [math] arbitrario pero fijado, nos queda

[math]

Entonces en este caso tendremos

[math]

Por lo tanto

[math]

Por hipótesis [math], entonces

[math]

Por lo tanto tenemos dos diofánticas:

[math]

[math]

Resolveremos una, y veremos qué valores de esa funcionan también en la otra. Resolvamos la primera:

[math]

[math]

Luego [math], luego [math], luego [math].

Como [math], entonces tenemos las siguientes posibilidades:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Pero descartamos [math] pues [math]. Analizando cada caso de los restantes tendremos que las únicas posibilidades [math] son [math] y [math]. Y ambas verifican la segunda ecuación.

Con el primer caso tendríamos entonces números de la forma [math]. Entonces [math] puede valer [math] ó [math], ya que [math]. Si [math] entonces el menor valor que [math] puede tomar es [math], luego

[math]

Luego [math], absurdo. Entonces debe ser [math]. Además

[math]

Es decir que [math], luego las posibles soluciones son

[math]
[math]
[math]
[math]

Con [math] buscamos los números de la forma [math]. El máximo valor que puede tomar [math] es [math], pues [math]. O sea que [math]

Si [math] entonces [math] de donde [math], o sea [math]. Tenemos entonces las siguientes posibilidades:

[math]
[math]
[math]

Si [math] entonces [math] de donde [math], pero ya tenemos una solución así, luego [math] es otra solución.

Si [math] entonces [math] y esto es imposible. Lo mismo ocurrirá con [math].
Última edición por JPablo el Sab 09 Ago, 2014 11:37 am, editado 2 veces en total.

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Guty
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Guty » Vie 08 Ago, 2014 8:36 pm

JPablo escribió:
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Por lo tanto la única solución es [math],
Fijate que:
Spoiler: mostrar
[math] cumple el enunciado

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JPablo
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por JPablo » Vie 08 Ago, 2014 8:54 pm

Guty escribió:
JPablo escribió:
Spoiler: mostrar
Por lo tanto la única solución es [math],
Fijate que:
Spoiler: mostrar
[math] cumple el enunciado
Muchas gracias por avisar :). ¿En dónde está el fallo de mi demostración?

EDIT: Ya la encontré, distribuí mal en un paréntesis jajaja, ahora lo arreglo. (Qué suerte que está OMAForos, sino nunca sabría cuándo hago algo bien o mal :P ) Gracias de nuevo!

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Guty
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Guty » Vie 08 Ago, 2014 9:08 pm

Iba a decírtelo, fijate que podés escribir el lado derecho como [math] ;)

Tardé en encontrarlo, porque yo lo escribí de una así y las cuentas me quedaron más fácil.

Por cierto, para calcular [math] podés pensar que tenés un tablero de [math] donde en cada casilla ubicás a los divisores de la manera obvia, y después es cuestión de contar cuántas [math] y [math] tiene tu tablero (si no se entendió esto último avisá (o cualquiera que lea) y lo comento mejor, sobre todo lo de la manera "obvia" que quizá no sea tan obvia)

Edit: La parte de contar las [math] y las [math] sale contando por filas las [math] y por columnas las [math] si las organizaste de la manera que llamé "obvia", que sería ubicar en la primer fila, todos los divisores de [math] que usan [math] veces el factor [math], entonces la primer fila te queda [math], la segunda fila todos los que usan [math] vez al factor [math], entonces la segunda fila te queda [math]. Así, hasta la última casilla (inferior derecha) que te queda [math]

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Guty
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Guty » Vie 08 Ago, 2014 10:59 pm

JPablo escribió:
Spoiler: mostrar
Si [math] entonces [math] de donde [math], pero ya tenemos una solución así.
Emm... no, fijate:
Spoiler: mostrar
vos tenés [math]. Ahora, si [math] y [math], y vos estás formando cosas de la pinta [math], entonces éso te da [math] que es otra solución posible.
Igual la idea está perfecta, nada, hay que estar atento, a todos nos pasan errores así :)

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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por JPablo » Sab 09 Ago, 2014 11:45 am

Guty escribió:
JPablo escribió:
Spoiler: mostrar
Si [math] entonces [math] de donde [math], pero ya tenemos una solución así.
Emm... no, fijate:
Spoiler: mostrar
vos tenés [math]. Ahora, si [math] y [math], y vos estás formando cosas de la pinta [math], entonces éso te da [math] que es otra solución posible.
Igual la idea está perfecta, nada, hay que estar atento, a todos nos pasan errores así :)
Buenísimo! Muchísimas gracias por la buena onda, de tomarte el trabajo de decirme en qué me equivocaba :D.

No siempre he tenido esta suerte, hay veces que he hecho esto mismo, de publicar mi solución a un problema pero al final nunca supe si estaban bien o no. Quedaron en el olvido jaja

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Julisnm

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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Julisnm » Sab 10 Ene, 2015 9:36 pm

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Sea [math] la cantidad de divisores positivos de [math].
Entonces, [math].
[math].

Si [math] es la factorización en primos de [math], luego [math].
Como [math] tiene exactamente dos divisores primos distintos, [math].
Entonces [math].
Las formas de expresar [math] como producto de dos enteros positivos son
[math]

Ahora vamos a dividir el problema en esos casos. Notemos que los casos [math] y [math] no sirven porque implicarían [math] y [math] no dividiría a [math].

Caso 1: [math]
  • [math]
por lo tanto este caso no nos da soluciones.

Caso 2: [math]
  • [math]
    [math]
    [math]
    [math]
    [math]
Caso 3: [math]
  • [math]
    [math]
    [math]
Caso 4: [math]
  • [math]
    [math]
    [math]
    [math]
    [math]
Por lo tanto, las soluciones son [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math] y [math].
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Peznerd
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Re: Regional 2001 N3 P2

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 09 Nov, 2019 4:21 pm

Julisnm escribió:
Sab 10 Ene, 2015 9:36 pm
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Sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$.
Entonces, $P(n)=n^{\frac{d(n)}{2}}$.
$P(n)=n^6 \rightarrow d(n)=12$.
¿De dónde sacaste esto?
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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