Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Ivan

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Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 12 May, 2015 8:21 pm

Hallar todos los enteros [math] que no son potencias de [math] y que satisfacen la ecuación [math], donde [math] es el mayor divisor impar de [math] y [math] es el menor divisor impar de [math] mayor que [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Fran5

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 12 May, 2015 8:47 pm

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Sea [math].

Notemos que [math] debe ser primo.
Por otro lado, [math], de modo que [math] debe ser potencia de [math]

Por definición, [math], luego [math]. Entonces [math] ó [math]

De ello se obtiene [math] y [math], y [math] y [math], respectivamente

En el primer caso, [math], luego, si [math] tenemos que [math] y [math], con lo cual [math] y cumple la ecuación dada
Si [math] tenemos [math] y [math], con lo cual [math] y cumple la ecuación dada.

En el segundo, [math] de modo que [math], con [math] primo.
Notemos que cualquier [math] de esta forma cumple la ecuación dada.

Entonces, hay tres soluciones, [math], [math], y [math] con [math] primo.
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Mar 12 May, 2015 9:02 pm

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Como [math] no es potencia de [math], existe al menos un primo impar que lo divide. Sea [math] el mayor primo impar que divide a [math]. Luego [math] divide al máximo divisor impar [math] de [math], ya que si no lo dividiera [math] sería un divisor impar de [math], lo que contradice la maximidad de [math].

Luego [math] divide a [math] donde [math] es el menor primo impar que divide a [math] (el primer divisor impar). Luego tenemos dos casos:

[math], luego hay un único primo impar que divide a [math], entonces [math]. Luego tenemos [math] o [math].

[math], luego [math] de donde tenemos [math].
[math]

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Caro - V3

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mar 12 May, 2015 9:06 pm

Algo que no sé si hace falta aclarar, pero que algunos chicos preguntaron:
El problema dice que [math] es entero, no dice nada sobre si es positivo o no. Pero podemos ver fácilmente que [math] es positivo, porque
  • [math] es positivo porque el mayor divisor impar de cualquier número siempre va a ser positivo
  • [math] también es positivo porque dice [math]
  • [math]
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Emerson Soriano

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 12 May, 2015 9:47 pm

Spoiler: mostrar
Es fácil notar que [math] es par. Luego, [math], con [math] impar. Analizaremos dos casos:
Primer Caso: Si [math] es primo impar, entonces [math], entonces [math], y por ende, [math], en consecuencia, este caso admite como solución a la familia de números [math], con [math] primo impar.

Segundo Caso: Si [math] es compuesto, entonces [math], luego, [math], con [math]. Analizaremos dos sub casos:

(1) Si [math], entonces [math], y por ende [math], entonces el número [math] cumple.

(2) Si [math], entonces como [math] es primo, los posibles valores de [math] son [math] o [math], si [math], entonces [math], por eso [math], luego, [math], lo cual es absurdo. Por lo tanto [math] y [math], luego, [math], y [math], pero como [math] es primo se deduce que [math], por lo tanto, en este caso [math].

HelcsnewsXD

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por HelcsnewsXD » Jue 12 Mar, 2020 12:48 pm

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$\exists n \in \mathbb{N}$ / $n\neq 2^k$ ($k \in \mathbb{N}$), $n=3D+5d$, donde $D$ es el mayor divisor impar y $d$ el menor. Tenemos dos posibilidades:
(a) Si $2 \nmid n$, $D= \frac{n}{d} \Rightarrow n=\frac{3n}{d}+5d \rightarrow (n-5d)d=3n \rightarrow nd-3n=5d^2 \rightarrow n=\frac{5d^2}{d-3} \Rightarrow$ no existe un $n$ que cumpla ya que no hay un $d<3$.

(b) Si $2\mid n$, $D=\frac{n}{2^k}$ / $k \in \mathbb{N} \Rightarrow n=\frac{3n}{2^k}+5d \rightarrow (n-5d)2^k=3n \rightarrow n2^k-3n=5d2^k \rightarrow n(2^k-3)=5d2^k \rightarrow n=\frac{5d2^k}{2^k-3} \Rightarrow$ Debemos ver los casos $2^k-3\mid d$ / $d\leq 5$, es decir, $2^k-3=1 , 3, 5$. Ahora debemos ver estos casos:
(1) Si $2^k-3=1 \rightarrow 2^k=4 \rightarrow k=2 \Rightarrow n=\frac{5d4}=20d$, con $d>1$ primo. Si $d=3 \Rightarrow n=60$ y si $d=5 \Rightarrow n=100$.
(2) Si $2^k-3=3$, pero no cumple ya que $6$ no es potencia de $2$.
(3) Si $2^k-3=5 \rightarrow 2^k=8 \rightarrow k=8 \Rightarrow n=\frac{5d8}{5} \Rightarrow n=8d$ con $d\geq 5$ primo.

Fedex

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Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 5

Mensaje sin leer por Fedex » Jue 26 Mar, 2020 8:58 pm

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$n=3D+5d$
$\frac{n}{D}=3+ \frac{5d}{D}$
Cómo $\frac{n}{D}$ es entero, $\frac{5d}{D}$ también. Por lo que tenemos que:
Caso 1) $D=d$
Caso 2) $D=5x$ con $x$ entero positivo tal que $x|d$

Caso 1)
Reemplazamos en la ecuación original y tenemos que:
$n=3D+5d=3d+5d=8d$
Ahora, ya que $D=d$, realmente $n$ solo tiene un único divisor impar distinto de $1$ que es a la vez el mayor y el menor. Lo que implica que $d$ es primo impar, ya que si fuera compuesto impar existirían al menos $2$ divisores impares distintos.
Por lo que $n=8p$ con $p$ primo positivo.
Siendo los divisores de $n$, $[1,2,4,8,p,2p,4p,8p]$
En donde, como puede verse $p=d=D$ es el único divisor impar de $n$

Caso 2)
Reemplazando en la ecuación original tenemos que:
$n=15x+5d=5(3x+d)$
Cómo ahora $n \equiv 0 \,(mod \, 5)$ tenemos que $d \leq 5$

Por lo que:
Caso 2.1) $d=3$
$n=5(3x+3)=15(x+1)$
Pero como dije antes $x|d$ por lo que $x=1$ o $x=3$ de donde obtenemos que $n=30$ o $n=60$ en donde:
$n=3D+5d$
$30=3.15+5.3=60$ No cumple.
$60=3.15+5.3=60$ Cumple.

Caso 2.2) $d=5$
$n=5(3x+5)$
Pero, como $x|d$, $x=1$ o $x=5$ de donde obtenemos que $n=8.5$ (Que, como podemos ver, es una variante del Caso 1) o $n=100$ en donde:
$100=3.25+5.5=100$ Cumple.

Por lo que: Los $n$ que cumplen con esto son $100$, $60$ y todo número de la forma $8p$ con $p$ primo impar positivo. En donde es claro que ninguno es una potencia de $2$
2  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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