Asignar a cada una de las letras [math]a,b,c,d,e uno de los números [math]71,76,80,82,91, sin repeticiones, de manera que [math]a+b sea múltiplo de [math]2, [math]a+b+c sea múltiplo de [math]3, [math]a+b+c+d sea múltiplo de [math]4 y [math]a+b+c+d+e sea múltiplo de [math]5.
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Queremos que [math]a+b+c+d+e sea múltiplo de [math]5. Como estamos sumando todos los números, tenemos que esta suma es igual a [math]71+76+80+82+91 = 400, que es múltiplo de 5.
Ahora queremos que [math]a+b+c+d sea múltiplo de [math]4. Podemos ver que [math]a+b+c+d = 400-e. Entonces, para que sea múltiplo de [math]4, [math]e también tiene que ser múltiplo de [math]4 (porque [math]400 lo es). Esto nos deja dos opciones: [math]e = 76 o [math]e = 80. Es decir, [math]a+b+c+d = 324 o [math]a+b+c+d = 320.
Del mismo modo vamos a razonar para [math]a+b+c múltiplo de [math]3, pero dividiendo en dos casos.
Si [math]a+b+c+d = 324:
[math]a+b+c = 324 - d
y como [math]324 es múltiplo de [math]3, tenemos que elegir un [math]d múltiplo de [math]3. No hay ninguno. Descartamos este caso.
Si [math]a+b+c+d = 320:
[math]a+b+c = 320 - d
las posibilidades para [math]d son [math]71 y [math]80.
Pero [math]e = 80 y no podemos repetir.
Así que la única posibilidad es [math]d = 71 y [math]a+b+c = 249.
Ahora [math]a+b = 249 - c. Entonces [math]c es impar. Como nos queda un solo impar para elegir, [math]c = 91.
Y después hay dos opciones:
A=76, B=82, C=91, D=71, E=80 o
A=82, B=76, C=91,D=71 y E=80
Si sabemos que A + B = múltiplo de 2, A y B deben cumplir los criterios de divisibilidad de 2 es decir que
A y B deben terminar en 0 o en Par y los Números pares son 76, 82 y 80 es decir que pueden ser cualquiera de esos tres números, si se dice que A + B + C = múltiplo de 3, C debe cumplir el criterio de divisibilidad del 3 y el único que lo cumple es el 91, si A + B + C + D = múltiplo de 4, D debe cumplir el criterio de divisibilidad del 4 y el número que lo cumple es el 71 y por último sabemos que A + B + C + D + E = es igual a un múltiplo de 5 y E debe cumplir el criterio de divisibilidad del 5 y como solo quedan 3 números que son 76, 82, y 80 el único de esos números que cumple el criterio de divisibilidad del 5 es el 80 y quedan el 76 y el 82 que son asignados para A y para B y A puede ser igual a 76 y a 82 e igual con B ya que los dos números deben tener las condiciones al ser elegidos y no cambiaria nada.
Notamos que ya de por sí $71+76+80+82+91 \equiv 0 \mod 5$.
Si vemos los restos de los números dados son: $82 \equiv 2 \mod 4$, $91 \equiv 71 \equiv 3 \mod 4)$ y $76 \equiv 80 \equiv 0 \mod 4$ y vemos que si tomamos a uno con resto $2$ dos con resto $3$ y uno con resto $0$ pasa que $2+3+3+0 \equiv 0 \mod 4$. Nos da que solo $82$ tiene resto $2$ y que la única pareja de resto $3$ es $91$ y $71$ y de resto $0$ tenemos que elegir a uno pero tenemos dos entonces cuál será $e$ se verá en las otras sumas.
En módulo $3$ tenemos: $76 \equiv 82 \equiv 91 \equiv 1 \mod 3$ y $71 \equiv 80 \equiv 2 \mod 3$ entonces notamos que nuestra única opción es agarrar como $a,b,c$ los números con resto $1$ que son $76;82;91$ entonces como elegimos a $76$ $e=80$ y como elegimos a $76,82,91$ $d=71$.
Vemos módulo $2$ : $76 \equiv 82 \equiv 2 \mod 2$ y $91 \equiv 1 \mod 2$ entonces como queremos que el resto sea $0$ la opción que nos queda es $76 + 82$ entonces $c=91$. El orden de $a$ y $b$ es a elección.
