En la progresión aritmética de [math]51 términos [math]a_1, a_2, \ldots, a_{51} la suma de los términos de orden impar [math]a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{49}, a_{51} es igual a [math]1768.
Calcular la suma de los [math]51 números de la progresión.
Si sumo solo los numeros en posicion impar: tendre [math]26x pues desde [math]1 a [math]51 hay [math]26 numeros impares y tendre que sumar tambien [math]2d+4d+6d+8d+...+50d . En esa suma puedo sacar factor comun [math]2d para que quede [math]2d * (1+2+...+25) donde la suma de los primeros [math]25 numeros naturales sale por formula.
Entonces la suma quedaria [math]26x+2d*325=26x+650d
Si sumo todos los numeros : tendre [math]51x y tendre que sumar tambien [math]d+2d+3d+4d+...+50d . En esa suma puedo sacar factor comun [math]d para que quede [math]d * (1+2+...+50) donde la suma de los primeros [math]50 numeros naturales sale por formula.
Entonces la suma quedaria [math]51x+1275d
La suma de todos los numeros es [math]51[math]26 avos de lo que se obtuvo inicialmente. Por lo tanto si la suma inicial era [math]1768, la suma de todos los numeros es [math]3468
La suma de términos de una progresión aritmética es igual al primer termino mas el ultimo termino multiplicado por la cantidad de términos y dividido 2.
En ambas sucesiones el primero y el ultimo coinciden y por lo tanto también su suma que llamamos X, Luego X.26/2=1768 para la sucesión de términos de orden impar, X.51/2 es lo que buscamos como suma de los términos de la progresión de 51 términos. Despejando X=136 y reemplazando obtenemos que la suma buscada es 3468
La formula de la progresión aritmética es $a_n = a_1 + d(n-1)$
La suma de $n$ términos en una progresión aritmética es $S(n) = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
La suma de los terminos impares la podemos expresar de dos maneras distintas.
Forma 1
$n = 2k-1 \Rightarrow S(k) = \frac{k(a_1 + a_{2k-1})}{2}$
Notemos que ahora tenemos la mitad de términos, por lo que nos queda:
$1768 = \frac{26(a_1 + a_{2k-1})}{2}$
$136 = a_1 + a_{2k-1}$
Forma 2
También podemos considerar la suma total y luego quitarle la suma de los pares, a la cual vamos a llamar $S_p$
$1768 = \frac{51(a_1 + a_n)}{2} - S_p$
Notemos que antes habíamos concluido que $136 = a_1 + a_{2k-1}$ y $a_{2k-1} = a_n$ por lo tanto podemos reemplazar esto en la cuenta.
$1768 = \frac{51.136}{2} - S_p$
$S_p = 1700$
Finalmente haciendo la suma de los términos pares e impares obtenemos la suma total:
$1700 + 1768 = 3468$
