Zonal 2015 N3 P1

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ésta

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Zonal 2015 N3 P1

Mensaje sin leer por ésta »

En la progresión aritmética de [math] términos [math] la suma de los términos de orden impar [math] es igual a [math].
Calcular la suma de los [math] números de la progresión.
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bruno
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Re: Zonal 2015 N3 P1

Mensaje sin leer por bruno »

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Los numeros de las progresion son:

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
...
[math]

Si sumo solo los numeros en posicion impar: tendre [math] pues desde [math] a [math] hay [math] numeros impares y tendre que sumar tambien [math] . En esa suma puedo sacar factor comun [math] para que quede [math] donde la suma de los primeros [math] numeros naturales sale por formula.

Entonces la suma quedaria [math]

Si sumo todos los numeros : tendre [math] y tendre que sumar tambien [math] . En esa suma puedo sacar factor comun [math] para que quede [math] donde la suma de los primeros [math] numeros naturales sale por formula.

Entonces la suma quedaria [math]

La suma de todos los numeros es [math] [math] avos de lo que se obtuvo inicialmente. Por lo tanto si la suma inicial era [math], la suma de todos los numeros es [math]
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Emerson Soriano

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Re: Zonal 2015 N3 P1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano »

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Llamemos [math] a la suma de los términos impares de los [math] términos de la progresión aritmética. Por lo tanto
[math]
Por lo tanto, [math]

Luego, la suma de los [math] términos es:

[math]

[math]
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Dauphineg

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Re: Zonal 2015 N3 P1

Mensaje sin leer por Dauphineg »

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La suma de términos de una progresión aritmética es igual al primer termino mas el ultimo termino multiplicado por la cantidad de términos y dividido 2.
En ambas sucesiones el primero y el ultimo coinciden y por lo tanto también su suma que llamamos X, Luego X.26/2=1768 para la sucesión de términos de orden impar, X.51/2 es lo que buscamos como suma de los términos de la progresión de 51 términos. Despejando X=136 y reemplazando obtenemos que la suma buscada es 3468
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drynshock

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Re: Zonal 2015 N3 P1

Mensaje sin leer por drynshock »

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La formula de la progresión aritmética es $a_n = a_1 + d(n-1)$
La suma de $n$ términos en una progresión aritmética es $S(n) = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

La suma de los terminos impares la podemos expresar de dos maneras distintas.

Forma 1
$n = 2k-1 \Rightarrow S(k) = \frac{k(a_1 + a_{2k-1})}{2}$
Notemos que ahora tenemos la mitad de términos, por lo que nos queda:
$1768 = \frac{26(a_1 + a_{2k-1})}{2}$
$136 = a_1 + a_{2k-1}$

Forma 2
También podemos considerar la suma total y luego quitarle la suma de los pares, a la cual vamos a llamar $S_p$
$1768 = \frac{51(a_1 + a_n)}{2} - S_p$
Notemos que antes habíamos concluido que $136 = a_1 + a_{2k-1}$ y $a_{2k-1} = a_n$ por lo tanto podemos reemplazar esto en la cuenta.
$1768 = \frac{51.136}{2} - S_p$
$S_p = 1700$

Finalmente haciendo la suma de los términos pares e impares obtenemos la suma total:
$1700 + 1768 = 3468$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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