Regional 2015 N3 P2

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Matías V5

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Re: Regional 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 01 Oct, 2015 10:51 pm

Hechicero escribió:Yo elegí [math] porque

[math]

y si a [math] lo divide [math] con [math] el mayor exponente posible, en el primer termino era necesario [math] y en el segundo [math] porque sino aparecían números decimales . De ahí [math].

Pero no entiendo si esta bien, y porque la cantidad es [math].
Creo que estás asumiendo que para que [math] sea divisible por [math] necesitás que los dos términos a la vez sean divisibles por [math], y eso es lo que no es cierto. Fijate por ejemplo que [math] divide a [math], y sin embargo no divide a ninguno de los sumandos.
1  
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For there's so much more to explore!

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Hechicero

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Re: Regional 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Hechicero » Jue 01 Oct, 2015 10:55 pm

Apena lo leí no me gusto... y sigue sin gustarme jajaja

Gracias por la aclaración :D
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.

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NPCPepe

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Re: Regional 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por NPCPepe » Vie 10 Ene, 2020 7:55 pm

Spoiler: mostrar
El número con $1$ cero se puede representar como $10^8\cdot 7+2^{20}=5^8\cdot 2^8\cdot 7+2^{20}$, si se divide este número por $2^8$ queda un número impar ya que este sería $5\cdot 1\cdot 7+2^{12}$ o sea impar mas par. esto significa que la mayor potencia de $2$ sería $8$, esto pasa para todas las potencias hasta $10^{20}$, que es el caso con $13$ ceros.

Ahora con $14$ ceros o $15$ ceros lo máximo que se podría dividir es $2^{20}$ porque $5^{21}\cdot 2^{21}\cdot 7+2^{20}$, después de esto $5\cdot 2\cdot 7+1$ sería impar por lo que no se puede dividir más

En el caso con $13$ ceros, se divide por $10^{20}$ y queda: $5^{20}\cdot 7+1$ que es impar más impar o sea que se puede seguir dividiendo así que la cantidad son $13$ ceros

es difícil saber hasta cuando se puede seguir dividiendo el número porque la calculadora no tiene $20$ dígitos, pero no lo es cuando se usa el teorema de euler:

la función phi de euler de $32$ es decir la cantidad de números enteros positivos coprimos con $32$ menores o iguales a $32$ es $32\cdot \left (1-\frac{1}{2}\right )=16$
por teorema de euler
$5^{\varphi (32)}\equiv 1\pmod{32}$ ya que $5$ es coprimo con $32$
$7\cdot 5^{16}\equiv 7\pmod{32}$
$7\cdot 5^{20}\equiv 4375\equiv 23\pmod{32}$
$7\cdot 5^{20}\equiv 24\pmod{32}$
como la mayor potencia de $2$ en $24$ es $8$, el numero se puede dividir $3$ veces mas $2^3=8$ así que la potencia es $2^{23}$
Última edición por NPCPepe el Mar 21 Ene, 2020 4:20 pm, editado 3 veces en total.
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$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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Fran5

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Re: Regional 2015 N3 P2

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 12 Ene, 2020 8:21 am

NPCPepe escribió:
Vie 10 Ene, 2020 7:55 pm
Spoiler: mostrar
es dificil saber hasta cuando se puede seguir dividiendo el numero porque la calculadora no tiene 20 digitos, pero no lo es cuando se usa el teorema de euler:

la funcion phi de euler de 32 es decir la cantidad de numeros enteros positivos coprimos con 32 menores o iguales a 32 es 32*(1-1/2)=16
por teorema de euler
5^phi(32)=1 mod 32 ya que 5 es coprimo con 32
7*5^16=7 mod 32
7*5^20=4375=23 mod 32
7*5^20+1=24 mod 32
como la mayor potencia de 2 en 24 es 8, el numero se puede dividir 3 veces mas 2^3=8 asi que la potencia es 2^23
Muy buena aplicación de la aritmética modular y de Euler!
Quieres intentar editar tu solución con LaTeX así queda más elegante?

Por ejemplo, para que aparezca $2^{20}$ y no 2^20, puedes escribir \$2^{20} \$. El foro automáticamente te convertirá lo que esté entre signos \$ \$ en una fórmula.
Para más información podés chusmear en https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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