Pablo elige un entero positivo $n$ y escribe en el pizarrón los $2n+1$ números$$\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3},\cdots ,\frac{n}{2n+1}$$(los denominadores aumentan de a $1$ por vez).
Laura elige dos números escritos por Pablo, $a$ y $b$, los borra y escribe el número $2ab-a-b+1$. Después de repetir este procedimiento $2n$ veces, en el pizarrón hay un solo número escrito. Determinar los posibles valores de este único número.
Para empezar veamos veamos que el anteúltimo número es [math]\frac{1}{2} ya que [math]\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}. Luego cada vez que realizamos la operación con [math]\frac{1}{2} y otro cualquier número [math]x del pizarrón siempre se forma [math]\frac{1}{2} [math]\frac{2\cdot x}{2}-x-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}
Luego, el último número que quedará escrito en el pizarrón siempre va a ser [math]\frac{1}{2}
Notemos que para todo [math]i\neq j, al suprimir [math]x_i y [math]x_j para luego reemplazarlos por [math]2x_ix_j-x_i-x_j+1=\frac{(2x_i-1)(2x_j-1)+1}{2}, entonces al aplicarle la transformación a la nueva cadena de números, no varía, es decir, la transoformación es invariante.
Entonces, luego de [math]2n pasos, como nos queda un único número, digamos [math]k, entonces [math]T(k)=0, en consecuencia [math]2k-1=0, lo cual implica que [math]k=\frac{1}{2} es su único valor.
Sabemos que [math]\frac{1}{2} se encuentra en la cadena. Luego, es fácil notar que si [math]\frac{1}{2} es elegido junto a otro número de la cadena, entonces el nuevo número sería [math]\frac{1}{2}, es conclusión: Si aplicamos un paso hay dos opciones: escoger a [math]\frac{1}{2} y otro número, y la otra opción es no escoger a [math]\frac{1}{2}, pero en cualquier caso el [math]\frac{1}{2} siempre estará presente en la cadena. Por lo tanto, el último número debe ser [math]\frac{1}{2}.
Nótese que $\frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$, si reemplazamos $a = \frac{1}{2}$ en la ecuación inicial se tiene que: $2 . \frac{1}{2} . b - \frac{1}{2} - b = \frac{1}{2}$, por ende el único resultado posible será $\frac{1}{2}$.
